Calcule \iint_{R} 2 x y d y d x, onde R é a região limitada por y=x^{2} e y=\sqrt{x}.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral dupla
\iint_{R} 2 x y \, dy \, dx,
onde R é a região limitada pelas curvas y=x^{2} e y=\sqrt{x}.\n
Informações relevantes fornecidas:
y=x^{2},\qquad y=\sqrt{x}.
O enunciado não dá explicitamente os pontos de interseção, nem a ordem de integração a usar, então preciso encontrá-los e descrever a região R antes de integrar.

Passo 2

Vou achar os pontos de interseção das curvas resolvendo
x^{2}=\sqrt{x}.
Como \sqrt{x} exige x\ge 0, considero x\ge 0. Faço a substituição \sqrt{x}=t com t\ge 0; então x=t^{2}. Substituindo,
(t^{2})^{2}=t \quad\Rightarrow\quad t^{4}-t=0 \quad\Rightarrow\quad t(t^{3}-1)=0.
As soluções não negativas são t=0 e t=1. Voltando para x, temos x=t^{2}, logo os pontos de interseção são
x=0\quad\text{e}\quad x=1.
Portanto as curvas se cruzam em (0,0) e (1,1).

Passo 3

Agora preciso saber qual curva está acima da outra entre x=0 e x=1. Para 0<x<1 temos potências com expoentes diferentes: \sqrt{x}=x^{1/2} e x^{2}. Como 0<x<1 e 1/2<2, vale x^{1/2}>x^{2}. Em termos simples: para x em (0,1), \sqrt{x} é maior que x^{2}. Portanto, para cada x\in[0,1], y varia de y=x^{2} (curva de baixo) até y=\sqrt{x} (curva de cima).

Passo 4

Com isso a região R pode ser descrita por fatias verticais: x varia de 0 a 1 e, para cada x, y varia de x^{2} a \sqrt{x}. Assim a integral iterada fica
\iint_{R} 2 x y \, dy \, dx = \int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=x^{2}}^{y=\sqrt{x}} 2 x y \, dy\right) dx.
Explico a escolha da ordem: usamos dy dentro porque é direto escrever os limites de y em função de x (as curvas já estão dadas como y= algo).

Passo 5

Calculo a integral interna em y. Como x é tratado como constante na integração em y,
\int_{y=x^{2}}^{y=\sqrt{x}} 2 x y \, dy
aplico a regra de potência/constante: \int 2x\,y\,dy = 2x\cdot \frac{y^{2}}{2}=x y^{2}. Portanto, avaliando entre os limites,
\int_{y=x^{2}}^{y=\sqrt{x}} 2 x y \, dy = x\bigl((\sqrt{x})^{2} - (x^{2})^{2}\bigr).
Agora simplifico as potências: (\sqrt{x})^{2}=x e (x^{2})^{2}=x^{4}. Logo o resultado da integral interna é
x\bigl(x - x^{4}\bigr) = x^{2}-x^{5}.

Passo 6

Agora integrarei em x de 0 a 1:
\int_{0}^{1} (x^{2}-x^{5})\,dx.
Uso a regra de potência: \int x^{n}\,dx=\tfrac{x^{n+1}}{n+1}. Assim
\int_{0}^{1} x^{2}\,dx = \left[\tfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\tfrac{1}{3},
e
\int_{0}^{1} x^{5}\,dx = \left[\tfrac{x^{6}}{6}\right]_{0}^{1}=\tfrac{1}{6}.
Subtraindo os dois resultados,
\int_{0}^{1} (x^{2}-x^{5})\,dx = \tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{6}=\tfrac{1}{6}.

Passo 7

Concluo que o valor da integral dupla sobre a região R é \tfrac{1}{6}.\n
Você conseguiu! Mesmo com pouco tempo, dividir o problema em: achar interseções, descrever a região e integrar em ordem conveniente, resolve a maior parte das questões desse tipo. Vai firme na prova!

Resposta

\frac{1}{6}

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