Calcule
, onde
é a região limitada por
e
.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a integral dupla
onde
é a região limitada pelas curvas
e
.\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
O enunciado não dá explicitamente os pontos de interseção, nem a ordem de integração a usar, então preciso encontrá-los e descrever a região
antes de integrar.
Passo 2
Vou achar os pontos de interseção das curvas resolvendo
Como
exige
, considero
. Faço a substituição
com
; então
. Substituindo,
As soluções não negativas são
e
. Voltando para
, temos
, logo os pontos de interseção são
Portanto as curvas se cruzam em
e
.
Passo 3
Agora preciso saber qual curva está acima da outra entre
e
. Para
temos potências com expoentes diferentes:
e
. Como
e
, vale
. Em termos simples: para
em
,
é maior que
. Portanto, para cada
,
varia de
(curva de baixo) até
(curva de cima).
Passo 4
Com isso a região
pode ser descrita por fatias verticais:
varia de
a
e, para cada
,
varia de
a
. Assim a integral iterada fica
Explico a escolha da ordem: usamos
dentro porque é direto escrever os limites de
em função de
(as curvas já estão dadas como
algo).
Passo 5
Calculo a integral interna em
. Como
é tratado como constante na integração em
,
aplico a regra de potência/constante:
. Portanto, avaliando entre os limites,
Agora simplifico as potências:
e
. Logo o resultado da integral interna é
Passo 6
Agora integrarei em
de
a
:
Uso a regra de potência:
. Assim
e
Subtraindo os dois resultados,
Passo 7
Concluo que o valor da integral dupla sobre a região
é
.\n
Você conseguiu! Mesmo com pouco tempo, dividir o problema em: achar interseções, descrever a região e integrar em ordem conveniente, resolve a maior parte das questões desse tipo. Vai firme na prova!
Você conseguiu! Mesmo com pouco tempo, dividir o problema em: achar interseções, descrever a região e integrar em ordem conveniente, resolve a maior parte das questões desse tipo. Vai firme na prova!