Construa uma tabela com a função
, usando os pontos
0,
e
. Obtenha um polinômio interpolador de
grau usando o método de Newton com diferenças divididas e avalie o valor aproximado de
.
Passo 1
O enunciado pede que eu construa uma tabela para a função
nos pontos
,
e
; obtenha o polinômio interpolador de 2.º grau usando o método de Newton com diferenças divididas; e estime o valor de
usando esse polinômio.
Informações dadas: os três pontos ,
,
e a função
.
O que preciso entregar: (1) tabela com valores e diferenças divididas, (2) polinômio de Newton de grau 2 e (3) valor aproximado de obtido por esse polinômio.
Informações dadas: os três pontos
O que preciso entregar: (1) tabela com valores e diferenças divididas, (2) polinômio de Newton de grau 2 e (3) valor aproximado de
Passo 2
Vou usar o método das diferenças divididas de Newton. Aqui está a ideia e as fórmulas (explicadas passo a passo):
- Para pontos
definimos . - A primeira diferença dividida entre
e é
Isto mede a “inclinação média” entre os dois pontos.
- A segunda diferença dividida para três pontos é
- O polinômio de Newton de grau 2, tomando
como base, é
Cada coeficiente é uma diferença dividida; isso evita resolver sistema linear e é ótimo para adicionar pontos depois sem refazer tudo.
Passo 3
Calculo os valores de
nos três pontos (uso aproximações numéricas com várias casas decimais para precisão):
(Estes valores foram obtidos avaliando
em radianos nos pontos indicados.)
Passo 4
Faço as primeiras diferenças divididas entre os pares adjacentes:
Para
e
:
Para
e
:
Passo 5
Agora a segunda diferença dividida usando
,
,
:
Passo 6
Monto o polinômio de Newton de grau 2 com os coeficientes calculados. Usando
:
Substituindo os números:
(Isto é exatamente o polinômio interpolador em forma de Newton.)
Passo 7
Agora avalio
em
. Calculo passo a passo:
Termo linear:
Termo quadrático:
Somando tudo:
Passo 8
Interpretação e verificação rápida (útil na prova): o valor exato
é aproximadamente
. O nosso
aproxima muito bem
; o erro é cerca de
(ou
). Esse erro é pequeno aqui porque
é suave e os pontos estão perto de
.