Calcule \iint_{R}(x+y) d A, onde R é o semicírculo limitado por y=\sqrt{4-x^{2}} e y=0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} (x+y)\,dA
onde R é o semicírculo superior limitado por y=\sqrt{4-x^{2}} (arco de círculo de raio 2) e por y=0.\n
Informações dadas e perguntas que devemos responder:\n
  • Integrando a função x+y sobre a região R.\n
  • A região R é o semicírculo de raio 2 centrado na origem, com y\ge0.\n
  • A tarefa é obter o valor numérico da integral dupla \iint_{R}(x+y)\,dA.\n

Passo 2

Escolha de coordenadas e conceito da mudança: como R é uma região circular (semicírculo), é natural usar coordenadas polares. Em coordenadas polares definimos\n
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge0 é a distância ao ponto (x,y) até a origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x. Ao mudar de (x,y) para (r,\theta), o elemento de área dA transforma-se em\n
dA = r\,dr\,d\theta.
Explicação do porquê do r: um pequeno retângulo em coordenadas polares tem lados aproximadamente dr e r\,d\theta, daí a área aproximada dr\cdot r\,d\theta.

Passo 3

Expressar a região R em polares: como R é o semicírculo superior de raio 2, temos\n
0\le r\le 2,\qquad 0\le \theta\le \pi.
Justificativa: r varia do centro até a borda do círculo de raio 2, e y\ge0 corresponde a ângulos \theta entre 0 e \pi.

Passo 4

Converter a integranda e escrever a integral em coordenadas polares: substituindo x e y por r\cos\theta e r\sin\theta e usando dA=r\,dr\,d\theta, obtemos\n
x+y = r\cos\theta + r\sin\theta = r(\cos\theta+\sin\theta),
logo a integranda completa é
(x+y)\,dA = r(\cos\theta+\sin\theta)\cdot r\,dr\,d\theta = r^{2}(\cos\theta+\sin\theta)\,dr\,d\theta.
Assim a integral dupla fica
\iint_{R}(x+y)\,dA = \int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2} r^{2}(\cos\theta+\sin\theta)\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral interna (em r): integramos primeiro em r, mantendo \theta fixo:
\int_{0}^{2} r^{2}(\cos\theta+\sin\theta)\,dr = (\cos\theta+\sin\theta)\int_{0}^{2} r^{2}\,dr.
Aqui \cos\theta+\sin\theta é constante em relação a r, então fatoramos. A primitiva de r^{2} é \dfrac{r^{3}}{3}, logo
\int_{0}^{2} r^{2}\,dr = \left.\dfrac{r^{3}}{3}\right|_{0}^{2} = \dfrac{2^{3}}{3}-0 = \dfrac{8}{3}.
Portanto a integral dupla reduz-se a
\iint_{R}(x+y)\,dA = \dfrac{8}{3}\int_{0}^{\pi} (\cos\theta+\sin\theta)\,d\theta.

Passo 6

Calcular a integral em \theta: separamos em duas integrais
\int_{0}^{\pi} (\cos\theta+\sin\theta)\,d\theta = \int_{0}^{\pi}\cos\theta\,d\theta + \int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta.
Calcule cada uma:\n
  • Para \cos:
\int_{0}^{\pi}\cos\theta\,d\theta = \left.\sin\theta\right|_{0}^{\pi} = \sin\pi - \sin 0 = 0-0 = 0.
  • Para \sin:
\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta = \left.-\cos\theta\right|_{0}^{\pi} = -\cos\pi -(-\cos 0) = -(-1) - ( -1) = 1+1 = 2.
Logo
\int_{0}^{\pi} (\cos\theta+\sin\theta)\,d\theta = 0 + 2 = 2.

Passo 7

Combinar os resultados: substituindo na expressão obtida no Passo 5,
\iint_{R}(x+y)\,dA = \dfrac{8}{3}\cdot 2 = \dfrac{16}{3}.
Observação didática rápida (checagem pela simetria): a integral de x sobre o semicírculo simétrico quanto ao eixo y é zero, porque x é função ímpar em relação ao eixo y; a integral de y é positiva e, se quisermos, pode ser calculada isoladamente e dá o mesmo resultado 16/3. Isso confirma a coerência do cálculo.

Resposta

\dfrac{16}{3}

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