Calcule \iint_{R}(x+y) d A, onde R é o semicírculo limitado por y=\sqrt{4-x^{2}} e y=0.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} (x+y)\,dA
onde R é o semicírculo superior limitado por y=\sqrt{4-x^{2}} (arco de círculo de raio 2) e por y=0.\n
Informações dadas e perguntas que devemos responder:\n
Integrando a função x+y sobre a região R.\n
A região R é o semicírculo de raio 2 centrado na origem, com y\ge0.\n
A tarefa é obter o valor numérico da integral dupla \iint_{R}(x+y)\,dA.\n
Passo 2
Escolha de coordenadas e conceito da mudança: como R é uma região circular (semicírculo), é natural usar coordenadas polares. Em coordenadas polares definimos\n
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge0 é a distância ao ponto (x,y) até a origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x. Ao mudar de (x,y) para (r,\theta), o elemento de área dA transforma-se em\n
dA = r\,dr\,d\theta.
Explicação do porquê do r: um pequeno retângulo em coordenadas polares tem lados aproximadamente dr e r\,d\theta, daí a área aproximada dr\cdot r\,d\theta.
Passo 3
Expressar a região R em polares: como R é o semicírculo superior de raio 2, temos\n
0\le r\le 2,\qquad 0\le \theta\le \pi.
Justificativa: r varia do centro até a borda do círculo de raio 2, e y\ge0 corresponde a ângulos \theta entre 0 e \pi.
Passo 4
Converter a integranda e escrever a integral em coordenadas polares: substituindo x e y por r\cos\theta e r\sin\theta e usando dA=r\,dr\,d\theta, obtemos\n
Observação didática rápida (checagem pela simetria): a integral de x sobre o semicírculo simétrico quanto ao eixo y é zero, porque x é função ímpar em relação ao eixo y; a integral de y é positiva e, se quisermos, pode ser calculada isoladamente e dá o mesmo resultado 16/3. Isso confirma a coerência do cálculo.