Considere a função
definida nos pontos, conforme a tabela:
0,1
0,2
0,4
2,8182
2,6667
2,4284
Determine o polinômio interpolador de grau 2 de
, usando a fórmula de Lagrange e avalie o valor aproximado de
.
|
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0,1 | 0,2 | 0,4 |
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2,8182 | 2,6667 | 2,4284 |
Passo 1
O enunciado dá três pontos da função
e pede duas coisas: obter o polinômio interpolador de grau 2 (pelo método de Lagrange) que passa por esses pontos e avaliar esse polinômio em
.
Dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado):
O que se pede:
- Construir o polinômio interpolador de grau 2
usando a fórmula de Lagrange. - Calcular o valor aproximado
, que será a aproximação de .
Passo 2
Vou relembrar e explicar a fórmula de Lagrange (de um jeito direto e sem jargões): o polinômio interpolador de grau
que passa por três pontos
é
onde cada polinômio
(chamado de base de Lagrange) é construído para valer
em
e
nos outros nós. A fórmula é
Explicando:
é um produto de duas frações (porque temos 3 pontos): para cada outro nó
fazemos
dividido pela diferença fixa
. Isso garante
e
se
. Depois somamos
para formar
.
Passo 3
Vamos calcular cada
explicitamente com os valores dados. Para facilitar as contas exato/rápido vou usar frações racionais para os nós:
Calculemos os denominadores (produtos das diferenças) para cada
:
Para
:
produto
.
Para
:
produto
.
Para
:
produto
.
Passo 4
Agora escrevemos cada
e expandimos (para podermos obter
na forma padrão
).
Para
:
Expandindo:
logo
Para
:
Expandindo:
logo
Para
:
Expandindo:
logo
(Se preferir, dá para checar que
identicamente.)
Passo 5
Agora montamos
. Vou multiplicar termo a termo e somar coeficientes para obter
.
Coeficiente de
:
Substituindo
(usei os valores da tabela):
Calculando:
Somando:
Coeficiente de
:
Substituindo:
Calculando:
Somando:
Termo constante:
Substituindo:
Calculando:
Somando:
Portanto o polinômio interpolador (aproximado, com os valores numéricos dados) é
Passo 6
Agora avaliamos
em
. Há duas maneiras práticas: (A) substituir
no polinômio expandido; (B) usar diretamente a forma de Lagrange e calcular as
(isso costuma ser até mais simples numericamente). Vou mostrar a forma (B) porque é curta e numérica exata com os dados:
Calculemos
usando as fórmulas originais (dados dos denominadores do Passo 3):
Observação simpática: dá para ver que
, como esperado.
Agora combinamos:
Substituindo:
Calculando cada termo:
Somando:
Arredondando para uma precisão razoável (6 casas decimais) temos
.