Considere a função f(x) definida nos pontos, conforme a tabela:
x_{i} 0,1 0,2 0,4
f\left(x_{i}\right) 2,8182 2,6667 2,4284
Determine o polinômio interpolador de grau 2 de f(x), usando a fórmula de Lagrange e avalie o valor aproximado de f(0,25).

Passo 1

O enunciado dá três pontos da função f e pede duas coisas: obter o polinômio interpolador de grau 2 (pelo método de Lagrange) que passa por esses pontos e avaliar esse polinômio em x=0,25.
Dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado):
x_0=0,1,\quad f(x_0)=2,8182
x_1=0,2,\quad f(x_1)=2,6667
x_2=0,4,\quad f(x_2)=2,4284
O que se pede:
  1. Construir o polinômio interpolador de grau 2 P_2(x) usando a fórmula de Lagrange.
  2. Calcular o valor aproximado P_2(0,25), que será a aproximação de f(0,25).

Passo 2

Vou relembrar e explicar a fórmula de Lagrange (de um jeito direto e sem jargões): o polinômio interpolador de grau \le 2 que passa por três pontos (x_0,f(x_0)),(x_1,f(x_1)),(x_2,f(x_2)) é
P_2(x)=\sum_{i=0}^{2} f(x_i)\,\ell_i(x),
onde cada polinômio \ell_i(x) (chamado de base de Lagrange) é construído para valer 1 em x_i e 0 nos outros nós. A fórmula é
\ell_i(x)=\prod_{\substack{j=0\\\ j\ne i}}^{2}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}.
Explicando: \ell_i(x) é um produto de duas frações (porque temos 3 pontos): para cada outro nó x_j fazemos (x-x_j) dividido pela diferença fixa (x_i-x_j). Isso garante \ell_i(x_i)=1 e \ell_i(x_j)=0 se j\ne i. Depois somamos f(x_i)\ell_i(x) para formar P_2.

Passo 3

Vamos calcular cada \ell_i(x) explicitamente com os valores dados. Para facilitar as contas exato/rápido vou usar frações racionais para os nós:
x_0=\tfrac{1}{10},\quad x_1=\tfrac{1}{5},\quad x_2=\tfrac{2}{5}.
Calculemos os denominadores (produtos das diferenças) para cada \ell_i:
Para \ell_0:
(x_0-x_1)=\tfrac{1}{10}-\tfrac{1}{5}=-\tfrac{1}{10},\qquad (x_0-x_2)=\tfrac{1}{10}-\tfrac{2}{5}=-\tfrac{3}{10},
produto =( -\tfrac{1}{10})( -\tfrac{3}{10})=\tfrac{3}{100}.
Para \ell_1:
(x_1-x_0)=\tfrac{1}{5}-\tfrac{1}{10}=\tfrac{1}{10},\qquad (x_1-x_2)=\tfrac{1}{5}-\tfrac{2}{5}=-\tfrac{1}{5},
produto =\tfrac{1}{10}\cdot(-\tfrac{1}{5})=-\tfrac{1}{50}.
Para \ell_2:
(x_2-x_0)=\tfrac{2}{5}-\tfrac{1}{10}=\tfrac{3}{10},\qquad (x_2-x_1)=\tfrac{2}{5}-\tfrac{1}{5}=\tfrac{1}{5},
produto =\tfrac{3}{10}\cdot\tfrac{1}{5}=\tfrac{3}{50}.

Passo 4

Agora escrevemos cada \ell_i(x) e expandimos (para podermos obter P_2 na forma padrão ax^2+bx+c).
Para \ell_0(x):
\ell_0(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} =\frac{(x-\tfrac{1}{5})(x-\tfrac{2}{5})}{\tfrac{3}{100}} =\frac{100}{3}\bigl(x-\tfrac{1}{5}\bigr)\bigl(x-\tfrac{2}{5}\bigr).
Expandindo:
\bigl(x-\tfrac{1}{5}\bigr)\bigl(x-\tfrac{2}{5}\bigr)=x^2-\tfrac{3}{5}x+\tfrac{2}{25},
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\ell_0(x)=\frac{100}{3}x^2-20x+\frac{8}{3}.
Para \ell_1(x):
\ell_1(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)} =\frac{(x-\tfrac{1}{10})(x-\tfrac{2}{5})}{-\tfrac{1}{50}} =-50\bigl(x-\tfrac{1}{10}\bigr)\bigl(x-\tfrac{2}{5}\bigr).
Expandindo:
\bigl(x-\tfrac{1}{10}\bigr)\bigl(x-\tfrac{2}{5}\bigr)=x^2-\tfrac{1}{2}x+\tfrac{1}{25},
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\ell_1(x)=-50x^2+25x-2.
Para \ell_2(x):
\ell_2(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)} =\frac{(x-\tfrac{1}{10})(x-\tfrac{1}{5})}{\tfrac{3}{50}} =\frac{50}{3}\bigl(x-\tfrac{1}{10}\bigr)\bigl(x-\tfrac{1}{5}\bigr).
Expandindo:
\bigl(x-\tfrac{1}{10}\bigr)\bigl(x-\tfrac{1}{5}\bigr)=x^2-\tfrac{3}{10}x+\tfrac{1}{50},
logo
\ell_2(x)=\frac{50}{3}x^2-5x+\frac{1}{3}.
(Se preferir, dá para checar que \ell_0(x)+\ell_1(x)+\ell_2(x)=1 identicamente.)

Passo 5

Agora montamos P_2(x)=f(x_0)\ell_0(x)+f(x_1)\ell_1(x)+f(x_2)\ell_2(x). Vou multiplicar termo a termo e somar coeficientes para obter ax^2+bx+c.
Coeficiente de x^2:
a = f(x_0)\cdot\frac{100}{3} + f(x_1)\cdot(-50) + f(x_2)\cdot\frac{50}{3}.
Substituindo f (usei os valores da tabela):
a = 2,8182\cdot\frac{100}{3} + 2,6667\cdot(-50) + 2,4284\cdot\frac{50}{3}.
Calculando:
2,8182\cdot\frac{100}{3}=93,94,\quad 2,6667\cdot(-50)=-133,335,\quad 2,4284\cdot\frac{50}{3}\approx40,473333.
Somando:
a\approx 93,94 -133,335 +40,473333 \approx 1,078333.
Coeficiente de x:
b = f(x_0)\cdot(-20) + f(x_1)\cdot 25 + f(x_2)\cdot(-5).
Substituindo:
b = -20\cdot2,8182 + 25\cdot2,6667 -5\cdot2,4284.
Calculando:
-20\cdot2,8182=-56,364,\quad 25\cdot2,6667=66,6675,\quad -5\cdot2,4284=-12,142.
Somando:
b\approx -56,364 +66,6675 -12,142 \approx -1,8385.
Termo constante:
c = f(x_0)\cdot\frac{8}{3} + f(x_1)\cdot(-2) + f(x_2)\cdot\frac{1}{3}.
Substituindo:
c = 2,8182\cdot\frac{8}{3} -2\cdot2,6667 + \frac{1}{3}\cdot2,4284.
Calculando:
2,8182\cdot\frac{8}{3}=7,5152,\quad -2\cdot2,6667=-5,3334,\quad \frac{1}{3}\cdot2,4284\approx0,8094667.
Somando:
c\approx 7,5152 -5,3334 +0,8094667 \approx 2,9912667.
Portanto o polinômio interpolador (aproximado, com os valores numéricos dados) é
P_2(x)\approx 1,078333\,x^2 - 1,838500\,x + 2,991267.

Passo 6

Agora avaliamos P_2 em x=0,25. Há duas maneiras práticas: (A) substituir x=0,25 no polinômio expandido; (B) usar diretamente a forma de Lagrange e calcular as \ell_i(0,25) (isso costuma ser até mais simples numericamente). Vou mostrar a forma (B) porque é curta e numérica exata com os dados:
Calculemos \ell_i(0,25) usando as fórmulas originais (dados dos denominadores do Passo 3):
\ell_0(0,25)=\frac{(0,25-0,2)(0,25-0,4)}{(0,1-0,2)(0,1-0,4)} =\frac{0,05\cdot(-0,15)}{(-0,1)\cdot(-0,3)}=\frac{-0,0075}{0,03}=-0,25.
\ell_1(0,25)=\frac{(0,25-0,1)(0,25-0,4)}{(0,2-0,1)(0,2-0,4)} =\frac{0,15\cdot(-0,15)}{0,1\cdot(-0,2)}=\frac{-0,0225}{-0,02}=1,125.
\ell_2(0,25)=\frac{(0,25-0,1)(0,25-0,2)}{(0,4-0,1)(0,4-0,2)} =\frac{0,15\cdot0,05}{0,3\cdot0,2}=\frac{0,0075}{0,06}=0,125.
Observação simpática: dá para ver que \ell_0(0,25)+\ell_1(0,25)+\ell_2(0,25)=-0,25+1,125+0,125=1, como esperado.
Agora combinamos:
P_2(0,25)=f(x_0)\ell_0(0,25)+f(x_1)\ell_1(0,25)+f(x_2)\ell_2(0,25).
Substituindo:
P_2(0,25)=2,8182\cdot(-0,25)+2,6667\cdot1,125+2,4284\cdot0,125.
Calculando cada termo:
2,8182\cdot(-0,25)=-0,70455,
2,6667\cdot1,125=3,0000375,
2,4284\cdot0,125=0,30355.
Somando:
P_2(0,25)\approx -0,70455 + 3,0000375 + 0,30355 \approx 2,5990375.
Arredondando para uma precisão razoável (6 casas decimais) temos P_2(0,25)\approx 2,599038.

Resposta

P_2(x)\approx 1,078333\,x^{2}-1,838500\,x+2,991267
P_2(0,25)\approx 2,599038

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