1. Preencha as lacunas com o integrando e os extremos de integração que faltam.
    (a) \int_{1}^{5} \int_{2}^{y / 2} 6 x^{2} y d x d y=\int_{\square}^{\square} \square d y
    (b) \int_{1}^{5} \int_{2}^{x / 2} 6 x^{2} y d y d x=\int_{\square}^{\square} \square d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral interna em cada caso e, com isso, escrever o resultado como uma só integral de variável única. Em (a) vamos integrar em x primeiro e em (b) integrar em y primeiro.

Passo 2

Para o item (a) temos
\int_{2}^{y/2}6x^{2}y\,dx =6y\int_{2}^{y/2}x^{2}\,dx =6y\Bigl[\tfrac{x^{3}}{3}\Bigr]_{2}^{y/2} =2y\Bigl(\tfrac{y^{3}}{8}-8\Bigr) =\frac{y^{4}}{4}-16y.
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\int_{1}^{5}\int_{2}^{y/2}6x^{2}y\,dx\,dy =\int_{1}^{5}\Bigl(\frac{y^{4}}{4}-16y\Bigr)\,dy.

Passo 3

Para o item (b) temos
\int_{2}^{x/2}6x^{2}y\,dy =6x^{2}\int_{2}^{x/2}y\,dy =6x^{2}\Bigl[\tfrac{y^{2}}{2}\Bigr]_{2}^{x/2} =3x^{2}\Bigl(\tfrac{x^{2}}{4}-4\Bigr) =\frac{3x^{4}}{4}-12x^{2}.
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\int_{1}^{5}\int_{2}^{x/2}6x^{2}y\,dy\,dx =\int_{1}^{5}\Bigl(\frac{3x^{4}}{4}-12x^{2}\Bigr)\,dx.

Resposta

(a) \displaystyle \int_{1}^{5}\bigl(\tfrac{y^{4}}{4}-16y\bigr)\,dy
(b) \displaystyle \int_{1}^{5}\bigl(\tfrac{3x^{4}}{4}-12x^{2}\bigr)\,dx

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