Esboce a região de integração e calcule as integrais iteradas
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: esboçar a região de integração no plano
e calcular a integral iterada
Informações dadas:
- A variável de integração interna é
com limites até , ou seja . - A variável de integração externa é
com limites até , ou seja . - A função integranda é
.
Passo 2
Esboço da região de integração (uso as informações dos limites):
- No eixo
traço as retas verticais e . - No eixo
traço as retas horizontais e .
A interseção dessas retas forma um retângulo cujos vértices são
Portanto a região de integração é esse retângulo no primeiro e quarto quadrantes (em
positivo), com altura
(de
a
) e largura
(de
a
).
Passo 3
Estratégia de cálculo: integrar primeiro em
(mantendo
fixo), depois em
.
Regra usada: ao integrar em , qualquer expressão que dependa só de
é constante e pode sair da integral. A primitiva de
em relação a
é
.
Regra usada: ao integrar em
Calcule a integral interna:
Como
é constante em relação a
, fatoramos:
Agora a primitiva de
é
, logo
Passo 4
Agora integramos a expressão obtida em
nos limites
a
:
A primitiva de
em relação a
é
. Portanto
Avalio nos limites:
(comentário de verificação: como
é função par, poderíamos também fazer
como checagem e obter o mesmo resultado.)
Resposta
Região: retângulo com vértices
.\n