Esboce a região de integração e calcule as integrais iteradas
\int_{-1}^{1} \int_{0}^{2} x y^{2} d x d y

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: esboçar a região de integração no plano xy e calcular a integral iterada
\int_{-1}^{1}\int_{0}^{2} x\,y^{2}\,dx\,dy.
Informações dadas:
  • A variável de integração interna é x com limites 0 até 2, ou seja x\in[0,2].
  • A variável de integração externa é y com limites -1 até 1, ou seja y\in[-1,1].
  • A função integranda é x\,y^{2}.

Passo 2

Esboço da região de integração (uso as informações dos limites):
  • No eixo x traço as retas verticais x=0 e x=2.
  • No eixo y traço as retas horizontais y=-1 e y=1.
    A interseção dessas retas forma um retângulo cujos vértices são
(0,-1),\\ (2,-1),\\ (2,1),\\ (0,1).
Portanto a região de integração é esse retângulo no primeiro e quarto quadrantes (em x positivo), com altura 2 (de -1 a 1) e largura 2 (de 0 a 2).

Passo 3

Estratégia de cálculo: integrar primeiro em x (mantendo y fixo), depois em y.
Regra usada: ao integrar em x, qualquer expressão que dependa só de y é constante e pode sair da integral. A primitiva de x em relação a x é \dfrac{x^{2}}{2}.
Calcule a integral interna:
\int_{0}^{2} x\,y^{2}\,dx
Como y^{2} é constante em relação a x, fatoramos:
\int_{0}^{2} x\,y^{2}\,dx = y^{2}\int_{0}^{2} x\,dx.
Agora a primitiva de x é \dfrac{x^{2}}{2}, logo
y^{2}\int_{0}^{2} x\,dx = y^{2}\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{2} = y^{2}\cdot\frac{2^{2}}{2} = y^{2}\cdot 2 = 2\,y^{2}.

Passo 4

Agora integramos a expressão obtida em y nos limites -1 a 1:
\int_{-1}^{1} 2\,y^{2}\,dy.
A primitiva de y^{2} em relação a y é \dfrac{y^{3}}{3}. Portanto
\int_{-1}^{1} 2\,y^{2}\,dy = \left[\frac{2\,y^{3}}{3}\right]_{-1}^{1}.
Avalio nos limites:
\left[\frac{2\,y^{3}}{3}\right]_{-1}^{1} = \frac{2\cdot 1^{3}}{3} - \frac{2\cdot (-1)^{3}}{3} = \frac{2}{3} - \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{4}{3}.
(comentário de verificação: como y^{2} é função par, poderíamos também fazer 2\int_{0}^{1}2y^{2}dy como checagem e obter o mesmo resultado.)

Resposta

Região: retângulo com vértices (0,-1), (2,-1), (2,1), (0,1).\n \dfrac{4}{3}

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