Calcule \iint_{S} \operatorname{rot} F \cdot n d S, onde S é a união do cilindro x^{2}+y^{2}=1,0 \leq z \leq 1, com a porção do plano z=0, x^{2}+y^{2} \leq 1, orientada com vetor normal exterior, e F=\left(z x+z^{2} y+x, z^{3} y x+y, z^{4} x^{2}\right).
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S} \operatorname{rot} F\cdot n\,dS,
onde S é a união de duas superfícies:
a superfície lateral do cilindro \,x^{2}+y^{2}=1,\;0\le z\le1, e
a porção do plano \,z=0 com \,x^{2}+y^{2}\le1,
orientadas com vetor normal exterior ao sólido cilíndrico V=\{(x,y,z):x^{2}+y^{2}\le1,\;0\le z\le1\}.
O que preciso entregar: o valor numérico de \displaystyle \iint_{S}\operatorname{rot}F\cdot n\,dS.
Passo 2
Ideia prática (explicação didática): a superfície S descrita é quase a superfície exterior do cilindro V, faltando apenas a tampa superior T que é o disco \,z=1,\;x^{2}+y^{2}\le1. Se eu acrescentar esse disco T obtenho a superfície fechada \partial V=S\cup T.
Uma propriedade útil é que, para qualquer campo vetorial suave, vale
\operatorname{div}(\operatorname{rot}F)=0.
Pelo teorema da divergência aplicado ao campo \operatorname{rot}F no volume V,
Portanto basta calcular a integral de \operatorname{rot}F\cdot n sobre o disco T em z=1 (onde o vetor normal exterior é n=(0,0,1)) e trocar de sinal. Esta é a forma mais simples em prova: fechamos a superfície e usamos que \operatorname{div}(\operatorname{rot}F)=0.
Passo 3
Calcular explicitamente \operatorname{rot}F=\nabla\times F. Usando a fórmula
onde D=\{(x,y):x^{2}+y^{2}\le1\} é o disco unitário no plano z=1, e dA é a área planar.
Passo 5
Calcular a integral sobre o disco D:
\iint_{D}(y-1)\,dA=\iint_{D}y\,dA-\iint_{D}1\,dA.
O primeiro termo \iint_{D}y\,dA=0 porque a função y é ímpar em relação ao eixo x e o disco é simétrico: para cada (x,y) existe (x,-y) que cancela. Em provas vale justificar dizendo “por simetria” ou fazer em coordenadas polares.
O segundo termo é a área do disco de raio 1, isto é \iint_{D}1\,dA=\pi.