Calcule \iint_{S} \operatorname{rot} F \cdot n d S, onde S é a união do cilindro x^{2}+y^{2}=1,0 \leq z \leq 1, com a porção do plano z=0, x^{2}+y^{2} \leq 1, orientada com vetor normal exterior, e F=\left(z x+z^{2} y+x, z^{3} y x+y, z^{4} x^{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S} \operatorname{rot} F\cdot n\,dS,
onde S é a união de duas superfícies:
  • a superfície lateral do cilindro \,x^{2}+y^{2}=1,\;0\le z\le1, e
  • a porção do plano \,z=0 com \,x^{2}+y^{2}\le1,
orientadas com vetor normal exterior ao sólido cilíndrico V=\{(x,y,z):x^{2}+y^{2}\le1,\;0\le z\le1\}.
A função vetorial dada é
F=(F_{1},F_{2},F_{3})=\big(zx+z^{2}y+x,\;z^{3}yx+y,\;z^{4}x^{2}\big).
O que preciso entregar: o valor numérico de \displaystyle \iint_{S}\operatorname{rot}F\cdot n\,dS.

Passo 2

Ideia prática (explicação didática): a superfície S descrita é quase a superfície exterior do cilindro V, faltando apenas a tampa superior T que é o disco \,z=1,\;x^{2}+y^{2}\le1. Se eu acrescentar esse disco T obtenho a superfície fechada \partial V=S\cup T.
Uma propriedade útil é que, para qualquer campo vetorial suave, vale
\operatorname{div}(\operatorname{rot}F)=0.
Pelo teorema da divergência aplicado ao campo \operatorname{rot}F no volume V,
\iint_{\partial V}\operatorname{rot}F\cdot n\,dS=\iiint_{V}\operatorname{div}(\operatorname{rot}F)\,dV=0.
Como \partial V=S\cup T e os normais são todos externos ao volume, tem-se
\iint_{S}\operatorname{rot}F\cdot n\,dS+\iint_{T}\operatorname{rot}F\cdot n\,dS=0,
ou seja
\iint_{S}\operatorname{rot}F\cdot n\,dS=-\iint_{T}\operatorname{rot}F\cdot n\,dS.
Portanto basta calcular a integral de \operatorname{rot}F\cdot n sobre o disco T em z=1 (onde o vetor normal exterior é n=(0,0,1)) e trocar de sinal. Esta é a forma mais simples em prova: fechamos a superfície e usamos que \operatorname{div}(\operatorname{rot}F)=0.

Passo 3

Calcular explicitamente \operatorname{rot}F=\nabla\times F. Usando a fórmula
\operatorname{rot}F=\left(\frac{\partial F_{3}}{\partial y}-\frac{\partial F_{2}}{\partial z},\; \frac{\partial F_{1}}{\partial z}-\frac{\partial F_{3}}{\partial x},\; \frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y}\right),
computamos as derivadas parciais:
  • \displaystyle \frac{\partial F_{3}}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(z^{4}x^{2})=0.
  • \displaystyle \frac{\partial F_{2}}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(z^{3}yx+y)=3z^{2}xy.
Logo a primeira componente é
(\operatorname{rot}F)_{1}=0-3z^{2}xy=-3z^{2}xy.
  • \displaystyle \frac{\partial F_{1}}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(zx+z^{2}y+x)=x+2zy.
  • \displaystyle \frac{\partial F_{3}}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(z^{4}x^{2})=2z^{4}x.
Logo a segunda componente é
(\operatorname{rot}F)_{2}=(x+2zy)-2z^{4}x=x+2zy-2z^{4}x.
  • \displaystyle \frac{\partial F_{2}}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(z^{3}yx+y)=z^{3}y.
  • \displaystyle \frac{\partial F_{1}}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(zx+z^{2}y+x)=z^{2}.
Logo a terceira componente é
(\operatorname{rot}F)_{3}=z^{3}y-z^{2}=z^{2}(zy-1).
Portanto
\operatorname{rot}F=\big(-3z^{2}xy,\;x+2zy-2z^{4}x,\;z^{2}(zy-1)\big).

Passo 4

Avaliar \operatorname{rot}F\cdot n no disco superior T onde z=1 e n=(0,0,1). O produto escalar com n prende apenas a terceira componente:
\operatorname{rot}F\cdot n=(\operatorname{rot}F)_{3}\Big|_{z=1}=1^{2}(1\cdot y-1)=y-1.
Assim a integral sobre T é
\iint_{T}\operatorname{rot}F\cdot n\,dS=\iint_{D}(y-1)\,dA,
onde D=\{(x,y):x^{2}+y^{2}\le1\} é o disco unitário no plano z=1, e dA é a área planar.

Passo 5

Calcular a integral sobre o disco D:
\iint_{D}(y-1)\,dA=\iint_{D}y\,dA-\iint_{D}1\,dA.
  • O primeiro termo \iint_{D}y\,dA=0 porque a função y é ímpar em relação ao eixo x e o disco é simétrico: para cada (x,y) existe (x,-y) que cancela. Em provas vale justificar dizendo “por simetria” ou fazer em coordenadas polares.
  • O segundo termo é a área do disco de raio 1, isto é \iint_{D}1\,dA=\pi.
Portanto
\iint_{T}\operatorname{rot}F\cdot n\,dS=0-\pi=-\pi.

Passo 6

Lembrando da relação do Passo 2:
\iint_{S}\operatorname{rot}F\cdot n\,dS=-\iint_{T}\operatorname{rot}F\cdot n\,dS,
temos
\iint_{S}\operatorname{rot}F\cdot n\,dS=-(-\pi)=\pi.

Resposta

\pi

Exercícios relacionados