Calcule \iint_{S} \overrightarrow{\mathbf{F}} \cdot d \overrightarrow{\mathbf{S}} usando 2 métodos: (a) Por cálculo direto, (b) Mediante o teorema da divergência.
\overrightarrow{\mathbf{F}}=x^{2} \vec{i}+y^{2} \vec{j}+z^{2} \vec{k}, \quad S: x^{2}+y^{2}+z^{2}=4.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo \displaystyle \iint_{S}\mathbf F\cdot d\mathbf S
da campo \mathbf F = x^{2}\,\vec i + y^{2}\,\vec j + z^{2}\,\vec k
através da esfera \;S:\;x^{2}+y^{2}+z^{2}=4.
Vamos calcular de duas formas: (a) integral de superfície direta e (b) usando o teorema da divergência.

Passo 2

Cálculo direto por coordenadas esféricas.
Em esféricas tomamos
x = 2\sin\varphi\cos\theta,\quad y = 2\sin\varphi\sin\theta,\quad z = 2\cos\varphi,
com \varphi\in[0,\pi], \theta\in[0,2\pi].
Para a esfera de raio 2, o vetor normal unitário é
\hat n = \frac{(x,y,z)}{2},
e o elemento de área é
dS = (2)^{2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta = 4\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.
Logo
\mathbf F\cdot\hat n = \frac{x^{2}\,x + y^{2}\,y + z^{2}\,z}{2} = \frac{x^{3} + y^{3} + z^{3}}{2},
e o fluxo fica
\iint_{S}\mathbf F\cdot d\mathbf S = \iint_{S}\mathbf F\cdot\hat n\,dS = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi} \frac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{2}\;4\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.
Substituindo x=2\sin\varphi\cos\theta etc., cada termo envolve integrais como \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\cos^{3}\theta\,d\theta=0 ou \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\sin^{3}\theta\,d\theta=0.
Portanto, por simetria,
\iint_{S}\mathbf F\cdot d\mathbf S = 0.

Passo 3

Cálculo pelo teorema da divergência.
Primeiro, a divergência de \mathbf F é
\nabla\cdot\mathbf F = \frac{\partial}{\partial x}(x^{2}) + \frac{\partial}{\partial y}(y^{2}) + \frac{\partial}{\partial z}(z^{2}) = 2x + 2y + 2z.
O teorema da divergência diz que
\iint_{S}\mathbf F\cdot d\mathbf S = \iiint_{V}(\nabla\cdot\mathbf F)\,dV = \iiint_{V}(2x+2y+2z)\,dV,
onde V é a bola de raio 2 centrada na origem.
Por simetria, \displaystyle\iiint_{V}x\,dV=\iiint_{V}y\,dV=\iiint_{V}z\,dV=0.
Logo
\iiint_{V}(2x+2y+2z)\,dV = 0.

Resposta

\iint_{S}\mathbf F\cdot d\mathbf S = 0.

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