Calcule
usando 2 métodos: (a) Por cálculo direto, (b) Mediante o teorema da divergência.
.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo
da campo
através da esfera .
Vamos calcular de duas formas: (a) integral de superfície direta e (b) usando o teorema da divergência.
da campo
através da esfera
Vamos calcular de duas formas: (a) integral de superfície direta e (b) usando o teorema da divergência.
Passo 2
Cálculo direto por coordenadas esféricas.
Em esféricas tomamos
Em esféricas tomamos
com
,
.
Para a esfera de raio , o vetor normal unitário é
Para a esfera de raio
e o elemento de área é
Logo
e o fluxo fica
Substituindo
etc., cada termo envolve integrais como
ou
.
Portanto, por simetria,
Portanto, por simetria,
Passo 3
Cálculo pelo teorema da divergência.
Primeiro, a divergência de é
Primeiro, a divergência de
O teorema da divergência diz que
onde
é a bola de raio
centrada na origem.
Por simetria, .
Logo
Por simetria,
Logo