Calcule
usando 2 métodos: (a) Por cálculo direto, (b) Mediante o teorema da divergência.
.
Passo 1
O enunciado quer o fluxo
para
sobre a parte cilíndrica ,
com (isto é, truncada pelas superfícies
e
) e
.
Vamos usar dois métodos: (a) parametrização direta de e (b) teorema da divergência aplicado ao sólido
limitado por
, pela base
e pelo topo
.
sobre a parte cilíndrica
com
Vamos usar dois métodos: (a) parametrização direta de
Passo 2
Cálculo direto. Parametrizamos a superfície cilíndrica por
,
com ,
.
Então ,
,
com
Então
e
.
Em temos
Em
logo
O fluxo é
Passo 3
Método do teorema da divergência.
A divergência é
A divergência é
O sólido
é
.
Em coordenadas polares ,
,
a altura é
, logo
Em coordenadas polares
Pelo teorema da divergência o fluxo through the closed surface bounding
é
Como as faces topo
e base
têm fluxos que se cancelam entre si, o fluxo pela lateral cilíndrica
também é
.