Calcule \iint_{S} \overrightarrow{\mathbf{F}} \cdot d \overrightarrow{\mathbf{S}} usando 2 métodos: (a) Por cálculo direto, (b) Mediante o teorema da divergência.
\overrightarrow{\mathbf{F}}=(x+z) \vec{i}+(x+y) \vec{j}+(z+y) \vec{k}, S: x^{2}+y^{2}=4, z=y, z \geq 0.

Passo 1

O enunciado quer o fluxo
\iint_{S}\mathbf F\cdot d\mathbf S
para \mathbf F=(x+z)\,\mathbf i+(x+y)\,\mathbf j+(z+y)\,\mathbf k
sobre a parte cilíndrica \,x^2+y^2=4,
com 0\le z\le y (isto é, truncada pelas superfícies z=0 e z=y) e y\ge0.
Vamos usar dois métodos: (a) parametrização direta de S e (b) teorema da divergência aplicado ao sólido V limitado por S, pela base z=0 e pelo topo z=y.

Passo 2

Cálculo direto. Parametrizamos a superfície cilíndrica por \displaystyle \mathbf r(\theta,z)=(2\cos\theta,\,2\sin\theta,\,z),
com \displaystyle \theta\in[0,\pi], \displaystyle z\in[0,\,y]=[0,\,2\sin\theta].
Então \displaystyle \mathbf r_\theta=(-2\sin\theta,\,2\cos\theta,\,0), \displaystyle \mathbf r_z=(0,0,1),
\mathbf r_\theta\times\mathbf r_z =(2\cos\theta,\,2\sin\theta,\,0),
e \displaystyle d\mathbf S=(\mathbf r_\theta\times\mathbf r_z)\,d\theta\,dz.
Em \mathbf r(\theta,z) temos
\mathbf F =\bigl(2\cos\theta+z,\;2\cos\theta+2\sin\theta,\;z+2\sin\theta\bigr),
logo
\mathbf F\cdot d\mathbf S =\bigl(2\cos\theta+z\bigr)\,2\cos\theta +\bigl(2\cos\theta+2\sin\theta\bigr)\,2\sin\theta =4+2\sin2\theta+2z\cos\theta.
O fluxo é
\int_{\theta=0}^{\pi}\!\int_{z=0}^{2\sin\theta} \bigl(4+2\sin2\theta+2z\cos\theta\bigr)\,dz\,d\theta =16.

Passo 3

Método do teorema da divergência.
A divergência é
\diver\mathbf F =\frac{\partial(x+z)}{\partial x} +\frac{\partial(x+y)}{\partial y} +\frac{\partial(z+y)}{\partial z} =1+1+1=3.
O sólido V é \{(x,y,z)\mid x^2+y^2\le4,\;y\ge0,\;0\le z\le y\}.
Em coordenadas polares x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta, \theta\in[0,\pi], r\in[0,2] a altura é z\in[0,r\sin\theta], logo
\Vol(V) =\int_{0}^{\pi}\!\int_{0}^{2}\! \bigl(r\sin\theta\bigr)\,r\,dr\,d\theta =\Bigl(\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta\Bigr) \Bigl(\int_{0}^{2}r^2\,dr\Bigr) =2\cdot\frac{8}{3}=\frac{16}{3}.
Pelo teorema da divergência o fluxo through the closed surface bounding V é
\iiint_{V}3\,dV =3\cdot\frac{16}{3}=16.
Como as faces topo z=y e base z=0 têm fluxos que se cancelam entre si, o fluxo pela lateral cilíndrica S também é 16.

Resposta

\iint_{S}\mathbf F\cdot d\mathbf S =16.

Exercícios relacionados