Calcule \int_{C} \overrightarrow{\mathbf{F}} \cdot d \overrightarrow{\mathbf{r}} usando 2 métodos: (a) Por cálculo direto, (b) Mediante o terorema de Stokes: \overrightarrow{\mathrm{F}}=x \vec{i}+y \vec{j}+x y z \vec{k} e C é o triânglo com vértice (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1).
onde \overrightarrow{F}(x,y,z)=x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}+x y z\,\mathbf{k} e C é o triângulo fechado com vértices (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). Vamos usar dois métodos:
(a) parametrização direta da curva quebrada em três segmentos,
(b) Teorema de Stokes (relaciona a integral de linha ao fluxo de \nabla\times F através da superfície triangular).
Passo 2
Método (a): dividimos C em três arestas AB, BC e CA. Em cada segmento parametrizamos \mathbf{r}(t), calculamos d\mathbf{r}, avaliamos \overrightarrow{F} e fazemos \displaystyle\int \overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}.
Parametrizamos S por \mathbf{r}(u,v)=(u,v,1-u-v), u,v\ge0, u+v\le1.
Então \mathbf{r}_u=(1,0,-1), \mathbf{r}_v=(0,1,-1), \mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v=(1,1,1)\,du\,dv é o vetor de área.