Calcule \int_{C} \overrightarrow{\mathbf{F}} \cdot d \overrightarrow{\mathbf{r}} usando 2 métodos: (a) Por cálculo direto, (b) Mediante o terorema de Stokes:
\overrightarrow{\mathrm{F}}=x \vec{i}+y \vec{j}+x y z \vec{k} e C é o triânglo com vértice (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{C}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}
onde \overrightarrow{F}(x,y,z)=x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}+x y z\,\mathbf{k} e C é o triângulo fechado com vértices (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). Vamos usar dois métodos:
(a) parametrização direta da curva quebrada em três segmentos,
(b) Teorema de Stokes (relaciona a integral de linha ao fluxo de \nabla\times F através da superfície triangular).

Passo 2

Método (a): dividimos C em três arestas AB, BC e CA. Em cada segmento parametrizamos \mathbf{r}(t), calculamos d\mathbf{r}, avaliamos \overrightarrow{F} e fazemos \displaystyle\int \overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}.

Passo 3

Segmento AB de A=(1,0,0) a B=(0,1,0):
\mathbf{r}_1(t)=(1-t,\,t,\,0),\quad t\in[0,1],\quad d\mathbf{r}_1=(-dt,\,dt,\,0).
Em \mathbf{r}_1, x=1-t, y=t, z=0, logo \overrightarrow{F}=(1-t)\,\mathbf{i}+t\,\mathbf{j}+0\cdot\mathbf{k}.
Então
\overrightarrow{F}\cdot d\mathbf{r}_1 =(1-t)(-dt)+t\,(dt) =(-1+2t)\,dt,
\int_{0}^{1}(-1+2t)\,dt =\bigl[-t+t^2\bigr]_{0}^{1} =-1+1=0.

Passo 4

Segmento BC de B=(0,1,0) a C=(0,0,1):
\mathbf{r}_2(u)=(0,\,1-u,\,u),\quad u\in[0,1],\quad d\mathbf{r}_2=(0,\,-du,\,du).
Aqui x=0, y=1-u, z=u, e \overrightarrow{F}=(0,\;1-u,\;0).
\overrightarrow{F}\cdot d\mathbf{r}_2 =(1-u)(-du)+0\cdot du =-(1-u)\,du,
\int_{0}^{1}-(1-u)\,du =\bigl[-u+\tfrac{u^2}{2}\bigr]_{0}^{1} =-1+\tfrac12=-\tfrac12.

Passo 5

Segmento CA de C=(0,0,1) a A=(1,0,0):
\mathbf{r}_3(s)=(s,\,0,\,1-s),\quad s\in[0,1],\quad d\mathbf{r}_3=(ds,\,0,\,-ds).
Aqui x=s, y=0, z=1-s, logo \overrightarrow{F}=(s,0,0).
\overrightarrow{F}\cdot d\mathbf{r}_3 =s\,ds+0+0 =s\,ds,
\int_{0}^{1}s\,ds =\tfrac12.

Passo 6

Somando os três trechos:
0 + \bigl(-\tfrac12\bigr) + \tfrac12 = 0.
Portanto, pelo cálculo direto,
\int_{C}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}=0.

Passo 7

Método (b) – Teorema de Stokes:
\int_{C}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r} =\iint_{S}(\nabla\times\overrightarrow{F})\cdot d\overrightarrow{S},
onde S é a face triangular x+y+z=1, x,y,z\ge0.

Passo 8

Calculamos
\nabla\times\overrightarrow{F} =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\ \partial_x&\partial_y&\partial_z\\\ x&y&xyz \end{vmatrix} = xz\,\mathbf{i}-yz\,\mathbf{j}+0\,\mathbf{k}.
Parametrizamos S por \mathbf{r}(u,v)=(u,v,1-u-v), u,v\ge0, u+v\le1.
Então \mathbf{r}_u=(1,0,-1), \mathbf{r}_v=(0,1,-1), \mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v=(1,1,1)\,du\,dv é o vetor de área.

Passo 9

(\nabla\times\overrightarrow{F})\cdot(\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v) =(xz,-yz,0)\cdot(1,1,1) =xz-yz =z\,(x-y).
Em \mathbf{r}(u,v): x=u, y=v, z=1-u-v. Logo integrando
\iint_{D}(1-u-v)(u-v)\,du\,dv,
com D=\{(u,v)\mid u\ge0,\;v\ge0,\;u+v\le1\}.

Passo 10

Fazendo a integral em ordem v depois u e calculando cuidadosamente, obtém-se
\iint_{D}(1-u-v)(u-v)\,du\,dv=0.
Logo pelo Teorema de Stokes também vem
\int_{C}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}=0.

Resposta

\displaystyle \int_{C}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}=0 pelos dois métodos.

Exercícios relacionados