Calcule
, onde
é o cubo orientado positivamente delimitado por
e
.
a) Diretamente
b) Empregando o Teorema de Gauss (Divergência)
a) Diretamente
b) Empregando o Teorema de Gauss (Divergência)
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
através do cubo fechado
. Podemos fazer isso de duas formas:
– (a) calculando diretamente a soma dos fluxos através de cada face.
– (b) usando o Teorema de Gauss, que diz que
– (a) calculando diretamente a soma dos fluxos através de cada face.
– (b) usando o Teorema de Gauss, que diz que
Passo 2
Fluxo pelas faces
e
.
Para , temos
e
, logo
Para
Para
,
e
, o que dá
.
Passo 3
Fluxo pelas faces
e
.
Para ,
e
, então
Para
Para
,
e
, logo
.
Passo 4
Fluxo pelas faces
e
.
Para ,
e
, então
Para
Para
,
e
, logo
.
Passo 5
Somando todos os fluxos pelo método direto:
Passo 6
Agora pelo Teorema de Gauss. Primeiro calculamos a divergência:
O volume é o cubo
, então
Resposta
a)
b)
b)