Calcule \iint_{S} \vec{F} \cdot \vec{n} d S, onde S é o cubo orientado positivamente delimitado por x=0, x=1, y=0, y=1, z=0 e z=1 \operatorname{com} \vec{F}(x, y, z)=4 x z \vec{\imath}-y^{2} \vec{\jmath}+y z \vec{k}.
a) Diretamente
b) Empregando o Teorema de Gauss (Divergência)

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \vec{F}(x,y,z)=4xz\,\vec{\imath}-y^{2}\,\vec{\jmath}+yz\,\vec{k} através do cubo fechado 0\le x,y,z\le1. Podemos fazer isso de duas formas:
– (a) calculando diretamente a soma dos fluxos através de cada face.
– (b) usando o Teorema de Gauss, que diz que
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS =\iiint_{V}\nabla\!\cdot\!\vec{F}\,dV.

Passo 2

Fluxo pelas faces x=0 e x=1.
Para x=1, temos \vec{n}=(1,0,0) e F_x(1,y,z)=4\cdot1\cdot z=4z, logo
\Phi_{x=1} =\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}4z\,dy\,dz =4\Bigl(\int_{0}^{1}z\,dz\Bigr)\Bigl(\int_{0}^{1}dy\Bigr) =4\cdot\frac12\cdot1 =2.
Para x=0, F_x(0,y,z)=0 e \vec{n}=(-1,0,0), o que dá \Phi_{x=0}=0.

Passo 3

Fluxo pelas faces y=0 e y=1.
Para y=1, \vec{n}=(0,1,0) e F_y(x,1,z)=-1^2=-1, então
\Phi_{y=1} =\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}(-1)\,dx\,dz =-1\cdot1\cdot1 =-1.
Para y=0, F_y(x,0,z)=0 e \vec{n}=(0,-1,0), logo \Phi_{y=0}=0.

Passo 4

Fluxo pelas faces z=0 e z=1.
Para z=1, \vec{n}=(0,0,1) e F_z(x,y,1)=y, então
\Phi_{z=1} =\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}y\,dx\,dy =\Bigl(\int_{0}^{1}dx\Bigr)\Bigl(\int_{0}^{1}y\,dy\Bigr) =1\cdot\frac12 =\frac12.
Para z=0, F_z(x,y,0)=0 e \vec{n}=(0,0,-1), logo \Phi_{z=0}=0.

Passo 5

Somando todos os fluxos pelo método direto:
\Phi_{\text{total}} =2 + 0 +(-1)+0 +\frac12 +0 =2-1+\tfrac12 =\tfrac32.

Passo 6

Agora pelo Teorema de Gauss. Primeiro calculamos a divergência:
\nabla\!\cdot\!\vec{F} =\frac{\partial}{\partial x}(4xz) +\frac{\partial}{\partial y}(-y^2) +\frac{\partial}{\partial z}(yz) =4z -2y +y =4z-y.
O volume é o cubo 0\le x,y,z\le1, então
\iiint_{V}(4z-y)\,dV =\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}(4z-y)\,dx\,dy\,dz =\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}(4z-y)\,dy\,dz =\int_{0}^{1}\Bigl[4z\,y-\tfrac{y^2}{2}\Bigr]_{0}^{1}dz =\int_{0}^{1}\Bigl(4z-\tfrac12\Bigr)dz =\Bigl[2z^2-\tfrac z2\Bigr]_{0}^{1} =2-\tfrac12 =\tfrac32.

Resposta

a) \displaystyle \frac32
b) \displaystyle \frac32

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