Calcule o rotacional das seguintes funções vetoriais: \vec{F}=(x+y z) \hat{i}+(y+x z) \hat{j}+(z+x y) \hat{k}
Passo 1
O enunciado pede o rotacional (curl) do campo vetorial
\vec F = (x + y z)\,\hat{i} + (y + x z)\,\hat{j} + (z + x y)\,\hat{k}.
O conteúdo envolvido é cálculo vetorial em coordenadas cartesianas, e vamos usar a definição do rotacional por determinante.
Passo 2
A definição de \nabla \times \vec F em coordenadas cartesianas é dada por
\nabla \times \vec F = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\[6pt] \displaystyle \frac{\partial}{\partial x} & \displaystyle \frac{\partial}{\partial y} & \displaystyle \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] x + y z & y + x z & z + x y \end{vmatrix}.
Para encontrar cada componente, usamos as regras de derivada parcial.]
Passo 3
Calculando as componentes:
Componente \hat{i}:
(\nabla \times \vec F)_x = \frac{\partial}{\partial y}(z + x y)\;-\;\frac{\partial}{\partial z}(y + x z) = x \;-\; x = 0.
Componente \hat{j}:
(\nabla \times \vec F)_y = \frac{\partial}{\partial z}(x + y z)\;-\;\frac{\partial}{\partial x}(z + x y) = y \;-\; y = 0.
Componente \hat{k}:
(\nabla \times \vec F)_z = \frac{\partial}{\partial x}(y + x z)\;-\;\frac{\partial}{\partial y}(x + y z) = z \;-\; z = 0.
Passo 4
Como todas as componentes são nulas, concluímos que o campo é irrotacional.