Calcule o rotacional das seguintes funções vetoriais:
\vec{F}=(x+y z) \hat{i}+(y+x z) \hat{j}+(z+x y) \hat{k}

Passo 1

O enunciado pede o rotacional (curl) do campo vetorial
\vec F = (x + y z)\,\hat{i} + (y + x z)\,\hat{j} + (z + x y)\,\hat{k}.
O conteúdo envolvido é cálculo vetorial em coordenadas cartesianas, e vamos usar a definição do rotacional por determinante.

Passo 2

A definição de \nabla \times \vec F em coordenadas cartesianas é dada por
\nabla \times \vec F = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\[6pt] \displaystyle \frac{\partial}{\partial x} & \displaystyle \frac{\partial}{\partial y} & \displaystyle \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] x + y z & y + x z & z + x y \end{vmatrix}.
Para encontrar cada componente, usamos as regras de derivada parcial.]

Passo 3

Calculando as componentes:
Componente \hat{i}:
(\nabla \times \vec F)_x = \frac{\partial}{\partial y}(z + x y)\;-\;\frac{\partial}{\partial z}(y + x z) = x \;-\; x = 0.
Componente \hat{j}:
(\nabla \times \vec F)_y = \frac{\partial}{\partial z}(x + y z)\;-\;\frac{\partial}{\partial x}(z + x y) = y \;-\; y = 0.
Componente \hat{k}:
(\nabla \times \vec F)_z = \frac{\partial}{\partial x}(y + x z)\;-\;\frac{\partial}{\partial y}(x + y z) = z \;-\; z = 0.

Passo 4

Como todas as componentes são nulas, concluímos que o campo é irrotacional.

Resposta

\nabla \times \vec F = \vec 0.

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