Calcule o rotacional das seguintes funções vetoriais:
\vec{F}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}

Passo 1

O enunciado pede o rotacional (ou curl) do campo vetorial \displaystyle \vec{F}(x,y,z)=x\,\hat{i}+y\,\hat{j}+z\,\hat{k}.
Este é um exercício de cálculo vetorial, em que usamos a definição \nabla\times\vec{F} para medir a “rotação” local do campo.

Passo 2

Primeiro, escrevemos o operador nabla e as componentes de \vec{F}.
\nabla = \hat{i}\,\frac{\partial}{\partial x} + \hat{j}\,\frac{\partial}{\partial y} + \hat{k}\,\frac{\partial}{\partial z},
\vec{F}(x,y,z) = \bigl(F_x,F_y,F_z\bigr) = \bigl(x,\;y,\;z\bigr).

Passo 3

Aplicamos a fórmula do produto vetorial em forma de determinante:
\nabla\times\vec{F} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\[6pt] \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\[4pt] x & y & z \end{vmatrix}.]

Passo 4

Calculamos cada componente:
Componente em \hat{i}:
\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z} = \frac{\partial z}{\partial y}-\frac{\partial y}{\partial z} =0-0=0.
Componente em \hat{j}:
\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x} = \frac{\partial x}{\partial z}-\frac{\partial z}{\partial x} =0-0=0.
Componente em \hat{k}:
\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y} = \frac{\partial y}{\partial x}-\frac{\partial x}{\partial y} =0-0=0.
Logo o rotacional é o vetor nulo.

Resposta

\nabla\times\vec{F} = \vec{0}.

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