Calcule, com explicação, a integral
\iint_{\sigma} x d y d z+y d z d x+z d x d y
onde \sigma é a superfície externa da pirâmide limitada pelos planos x=0, y=0, z=0 e x+y+z=b.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{\sigma} x\,dy\,dz + y\,dz\,dx + z\,dx\,dy
onde \sigma é a superfície externa (fechada) da pirâmide limitada pelos planos \,x=0\,,\,y=0\,,\,z=0 e \,x+y+z=b.
Informações relevantes dadas:
  • A superfície \sigma é a superfície externa (fechada) que envolve o sólido V interior à pirâmide com vértices nos pontos (0,0,0), (b,0,0), (0,b,0) e (0,0,b).
  • O integrando aparece na forma x\,dy\,dz + y\,dz\,dx + z\,dx\,dy.
  • Não foram dadas outras restrições; para que a pirâmide exista, assume-se b>0.
O que se pede:
  • Calcular o valor numérico (em função de b) da integral de superfície indicada.

Passo 2

Interpretação do integrando e conexão com fluxo de um campo vetorial.
Existe uma identidade padrão (frequentemente usada em cálculo vetorial) que diz que, para um campo vetorial \mathbf{F}=(P,Q,R), o fluxo de \mathbf{F} através de uma superfície fechada orientada externamente pode ser escrito como
\iint_{S} \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = \iint_{S} P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy.
Comparando com o integrando dado, identificamos o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y,z) = (x,y,z),
isto é, P(x,y,z)=x, Q(x,y,z)=y e R(x,y,z)=z. Portanto a integral pedida é exatamente o fluxo de \mathbf{F} através da superfície fechada \sigma com orientação externa.
Breve explicação didática: o termo P\,dy\,dz representa a componente do fluxo associada à componente P quando se projeta a área sobre o plano yz; analogamente para os outros termos. Não é necessário parametrizar cada face separadamente porque podemos usar um teorema mais poderoso (ver próximo passo).

Passo 3

Enunciado e explicação do Teorema da Divergência (Teorema de Gauss).
O Teorema da Divergência afirma que, para um campo vetorial \mathbf{F} suficientemente suave e para uma região V com fronteira fechada S=\partial V orientada externamente, vale:
\iint_{S} \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = \iiint_{V} \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV.
Aqui:
  • \mathbf{F}=(P,Q,R) é o campo vetorial,
  • \mathbf{n} é o vetor normal unitário à superfície apontando para fora,
  • \nabla\cdot\mathbf{F} = \dfrac{\partial P}{\partial x}+\dfrac{\partial Q}{\partial y}+\dfrac{\partial R}{\partial z} é a divergência de \mathbf{F},
  • dV é o elemento de volume no interior V.
Intuição curta e prática: o teorema transforma o cálculo de fluxo pela superfície fechada em um cálculo de volume (uma integral tripla) envolvendo a divergência. Isso costuma simplificar muito quando a divergência é simples — como será o caso aqui.

Passo 4

Calcular a divergência do campo \mathbf{F}(x,y,z)=(x,y,z).
Aplicando a definição,
\nabla\cdot\mathbf{F} = \frac{\partial}{\partial x}(x) + \frac{\partial}{\partial y}(y) + \frac{\partial}{\partial z}(z).
Cada derivada parcial é 1, portanto
\nabla\cdot\mathbf{F} = 1 + 1 + 1 = 3.
Assim a integral de superfície será igual à integral tripla da constante 3 sobre o volume V da pirâmide:
\iint_{\sigma} x\,dy\,dz + y\,dz\,dx + z\,dx\,dy = \iiint_{V} 3\,dV = 3\iiint_{V} dV = 3\cdot \operatorname{Vol}(V).

Passo 5

Calcular o volume \operatorname{Vol}(V) da pirâmide (tetráedro) limitada por x=0, y=0, z=0 e x+y+z=b.
Método direto por integral iterada (mais didático): descrever V com coordenadas cartesianas.
  • Para um dado x e y com x\ge0, y\ge0, o z varia de 0 até b-x-y.
  • Para um dado x com 0\le x\le b, o y varia de 0 até b-x.
  • Logo podemos escrever
\operatorname{Vol}(V) = \iiint_{V} dV = \int_{x=0}^{b}\int_{y=0}^{\,b-x}\int_{z=0}^{\,b-x-y} dz\,dy\,dx.
Calcule passo a passo as integrais internas.
Primeiro integrar em z:
\int_{z=0}^{\,b-x-y} dz = b-x-y.
Depois integrar em y:
\int_{y=0}^{\,b-x} (b-x-y)\,dy = \int_{y=0}^{\,b-x} (b-x)\,dy - \int_{y=0}^{\,b-x} y\,dy.
Calcule cada termo:
\int_{y=0}^{\,b-x} (b-x)\,dy = (b-x)\cdot(b-x) = (b-x)^2,
\int_{y=0}^{\,b-x} y\,dy = \frac{(b-x)^2}{2}.
Subtraindo,
\int_{y=0}^{\,b-x} (b-x-y)\,dy = (b-x)^2 - \frac{(b-x)^2}{2} = \frac{(b-x)^2}{2}.
Agora integrar em x:
\operatorname{Vol}(V) = \int_{x=0}^{b} \frac{(b-x)^2}{2}\,dx.
Fazer mudança simples u=b-x ou expandir; usando u=b-x com du=-dx, quando x=0 tem u=b e quando x=b tem u=0, obtemos
\operatorname{Vol}(V) = \int_{u=b}^{0} \frac{u^2}{2}(-du) = \int_{u=0}^{b} \frac{u^2}{2}\,du.
Agora integrar:
\int_{0}^{b} \frac{u^2}{2}\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^3}{3}\Big|_{0}^{b} = \frac{1}{2}\cdot\frac{b^3}{3} = \frac{b^3}{6}.
Portanto
\operatorname{Vol}(V) = \frac{b^3}{6}.
Comentário adicional (intuitivo): isso coincide com a fórmula conhecida para o volume de um tetraedro com interceptos b nos eixos: V=\dfrac{1}{6}b^3.

Passo 6

Voltar ao fluxo: multiplicar a divergência constante pelo volume.
Tínhamos
\iint_{\sigma} x\,dy\,dz + y\,dz\,dx + z\,dx\,dy = 3\cdot \operatorname{Vol}(V).
Substituindo \operatorname{Vol}(V)=\dfrac{b^3}{6},
\iint_{\sigma} x\,dy\,dz + y\,dz\,dx + z\,dx\,dy = 3\cdot \frac{b^3}{6} = \frac{3b^3}{6} = \frac{b^3}{2}.

Resposta

\dfrac{b^{3}}{2}

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