onde \sigma é a superfície externa da pirâmide limitada pelos planos x=0, y=0, z=0 e x+y+z=b.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{\sigma} x\,dy\,dz + y\,dz\,dx + z\,dx\,dy
onde \sigma é a superfície externa (fechada) da pirâmide limitada pelos planos \,x=0\,,\,y=0\,,\,z=0 e \,x+y+z=b.
Informações relevantes dadas:
A superfície \sigma é a superfície externa (fechada) que envolve o sólido V interior à pirâmide com vértices nos pontos (0,0,0), (b,0,0), (0,b,0) e (0,0,b).
O integrando aparece na forma x\,dy\,dz + y\,dz\,dx + z\,dx\,dy.
Não foram dadas outras restrições; para que a pirâmide exista, assume-se b>0.
O que se pede:
Calcular o valor numérico (em função de b) da integral de superfície indicada.
Passo 2
Interpretação do integrando e conexão com fluxo de um campo vetorial.
Existe uma identidade padrão (frequentemente usada em cálculo vetorial) que diz que, para um campo vetorial \mathbf{F}=(P,Q,R), o fluxo de \mathbf{F} através de uma superfície fechada orientada externamente pode ser escrito como
Comparando com o integrando dado, identificamos o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y,z) = (x,y,z),
isto é, P(x,y,z)=x, Q(x,y,z)=y e R(x,y,z)=z. Portanto a integral pedida é exatamente o fluxo de \mathbf{F} através da superfície fechada \sigma com orientação externa.
Breve explicação didática: o termo P\,dy\,dz representa a componente do fluxo associada à componente P quando se projeta a área sobre o plano yz; analogamente para os outros termos. Não é necessário parametrizar cada face separadamente porque podemos usar um teorema mais poderoso (ver próximo passo).
Passo 3
Enunciado e explicação do Teorema da Divergência (Teorema de Gauss).
O Teorema da Divergência afirma que, para um campo vetorial \mathbf{F} suficientemente suave e para uma região V com fronteira fechada S=\partial V orientada externamente, vale:
\mathbf{n} é o vetor normal unitário à superfície apontando para fora,
\nabla\cdot\mathbf{F} = \dfrac{\partial P}{\partial x}+\dfrac{\partial Q}{\partial y}+\dfrac{\partial R}{\partial z} é a divergência de \mathbf{F},
dV é o elemento de volume no interior V.
Intuição curta e prática: o teorema transforma o cálculo de fluxo pela superfície fechada em um cálculo de volume (uma integral tripla) envolvendo a divergência. Isso costuma simplificar muito quando a divergência é simples — como será o caso aqui.
Passo 4
Calcular a divergência do campo \mathbf{F}(x,y,z)=(x,y,z).