Uma firma deve decidir entre duas máquinas, cujos dados são apresentados na Tabela. Considerando uma taxa de juros de 10 \%, e que a máquina escolhida deverá ser reposta ao final da vida útil, qual máquina deve ser instalada? (Newnan; Eschenbach; Lavelle, 2012)
Máquina A Máquina B
Custo inicial $10.000 $20.000
Vida útil 4 10
Valor Residual 10.000 10.000
Manutenção anual $1.000 $0
\mathrm{R}: V A U E_{A}=-2000 ; V A U E_{B}=-2627. Máquina A.

Passo 1

O problema é de análise econômica de alternativas, em que comparamos duas máquinas A e B usando o custo uniforme anual equivalente (Equivalent Annual Cost) a uma taxa de juros de 10\%. Cada máquina tem custo inicial P, valor residual S, vida útil n e custo de manutenção anual M. Para decidir qual instalar, vamos calcular o custo anual equivalente de ambas, supondo que ao fim de cada vida útil elas sejam substituídas por idênticas (cadeia de reposição infinita).

Passo 2

A teoria nos diz que o custo anual equivalente C de um equipamento é dado por
C = P\cdot\frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n - 1} \;-\; S\cdot\frac{i}{(1+i)^n - 1} \;+\; M,
onde
  • P é o custo inicial,
  • S é o valor residual ao final de n anos,
  • i é a taxa de juros ( 0{,}10 no caso),
  • M é o custo de manutenção anual,
  • n é a vida útil.
O termo
\frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n - 1}
é o fator de recuperação de capital (capital recovery factor) e
\frac{i}{(1+i)^n - 1}
é o fator de aforro (sinking fund factor) aplicado ao valor residual.

Passo 3

Vamos calcular para a Máquina A, cujos dados são
P_A = 10000,\quad S_A = 10000,\quad n_A = 4,\quad M_A = 1000,\quad i = 0{,}10.
Primeiro calculemos (1+i)^{n_A} = 1{,}1^4 = 1{,}4641.
O fator de recuperação de capital é
\frac{i(1+i)^{n_A}}{(1+i)^{n_A}-1} = \frac{0{,}10\cdot1{,}4641}{1{,}4641-1} = \frac{0{,}14641}{0{,}4641} \approx 0{,}3157.
O fator de aforro para o residual é
\frac{i}{(1+i)^{n_A}-1} = \frac{0{,}10}{0{,}4641} \approx 0{,}2154.
Logo, o custo anual equivalente da Máquina A é
C_A = 10000\cdot0{,}3157 \;-\; 10000\cdot0{,}2154 \;+\; 1000 \approx 3157 \;-\; 2154 \;+\; 1000 = 2003.

Passo 4

Agora para a Máquina B, com
P_B = 20000,\quad S_B = 10000,\quad n_B = 10,\quad M_B = 0,\quad i = 0{,}10.
Calculemos (1+i)^{n_B} = 1{,}1^{10} \approx 2{,}5937.
Fator de recuperação de capital:
\frac{0{,}10\cdot2{,}5937}{2{,}5937-1} = \frac{0{,}25937}{1{,}5937} \approx 0{,}1627.
Fator de aforro do residual:
\frac{0{,}10}{1{,}5937} \approx 0{,}0628.
Então o custo anual equivalente da Máquina B é
C_B = 20000\cdot0{,}1627 \;-\; 10000\cdot0{,}0628 \;+\; 0 \approx 3254 \;-\; 628 = 2626.

Passo 5

Comparando os custos anuais equivalentes temos
C_A \approx 2003,\quad C_B \approx 2626.
Como C_A < C_B, a Máquina A é a mais econômica.

Resposta

Máquina A.

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