Calcule \iint_{\sigma} \vec{F} \cdot d \vec{\sigma}, onde \vec{F}(x, y, z)=(x, y, x) e \sigma é a superficie definida pela parte do parabolowde z=4-x^{2}-y^{2} contida no semi-espaço z \geq 2 y+1, com normal \hat{n} tal que \hat{n} \cdot \hat{k} \geq 0.

Passo 1

Vou identificar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • A função vetor é \vec{F}(x,y,z)=(x,y,x).
  • A superfície \sigma é a parte do paraboloide dada por z=4-x^{2}-y^{2} que está contida no semi-espaço z\geq 2y+1.
  • A orientação da superfície é tal que o vetor normal satisfaz \hat{n}\cdot\hat{k}\geq 0 (isto é, escolhemos a normal com componente z não negativa — a normal “para cima”).
  • O que se pede: calcular o fluxo \iint_{\sigma}\vec{F}\cdot d\vec{\sigma}.
Observação importante que vamos usar adiante: a curva de interseção entre o paraboloide e o plano delimita a projeção no plano xy. Essa curva é obtida impondo 4-x^{2}-y^{2}=2y+1 (usei a igualdade entre as equações dadas).

Passo 2

Encontrar a região de projeção D no plano xy (ou seja, o domínio de integração em coordenadas x,y).
Partindo de 4-x^{2}-y^{2}=2y+1, reescrevo:
x^{2}+y^{2}+2y-3=0.
Completo o quadrado em y:
x^{2}+(y+1)^{2}-4=0,
ou seja
x^{2}+(y+1)^{2}=4.
Isso significa que a projeção D é o disco centrado em (0,-1) de raio 2:
D=\{(x,y)\mid x^{2}+(y+1)^{2}\le 4\}.

Passo 3

Escolher a fórmula adequada para integrar o fluxo sobre a superfície z=g(x,y) com orientação para cima.
Se uma superfície é dada por z=g(x,y) e queremos a orientação cuja componente z do vetor normal é positiva, o elemento vetorial de área é
d\vec{S}=(-g_x,-g_y,1)\,dA,
onde g_x=\dfrac{\partial g}{\partial x}, g_y=\dfrac{\partial g}{\partial y} e dA é o elemento de área no plano xy. Assim o fluxo é
\iint_{\sigma}\vec{F}\cdot d\vec{\sigma}=\iint_{D}\vec{F}(x,y,g(x,y))\cdot(-g_x,-g_y,1)\,dA.
Explicação rápida do porquê: o vetor (-g_x,-g_y,1) é proporcional ao produto vetorial \partial\vec{r}/\partial x\times\partial\vec{r}/\partial y para a parametrização \vec{r}(x,y)=(x,y,g(x,y)), e garante a orientação para cima (componente z positiva).

Passo 4

Aplicar a fórmula ao nosso caso com g(x,y)=4-x^{2}-y^{2}.
Calculo as derivadas parciais:
g_x=\frac{\partial}{\partial x}(4-x^{2}-y^{2})=-2x, \qquad g_y=\frac{\partial}{\partial y}(4-x^{2}-y^{2})=-2y.
Logo
(-g_x,-g_y,1)=(2x,2y,1).
Avalio \vec{F} na superfície (ou seja, com z=g(x,y)), mas note que \vec{F}(x,y,z)=(x,y,x) depende de z apenas na terceira componente de \vec{F} — aqui a terceira componente é x, então não há dependência em z. Assim podemos usar \vec{F}(x,y,g(x,y))=(x,y,x) sem alteração.
O produto escalar que vamos integrar é
\vec{F}\cdot(-g_x,-g_y,1)= (x,y,x)\cdot(2x,2y,1)=2x^{2}+2y^{2}+x.
Portanto o fluxo reduz-se a
\iint_{\sigma}\vec{F}\cdot d\vec{\sigma}=\iint_{D}\bigl(2x^{2}+2y^{2}+x\bigr)\,dA,
onde D é o disco x^{2}+(y+1)^{2}\le 4.

Passo 5

Para facilitar a integração, faço a mudança de coordenadas que centra o disco na origem: defino
X=x,\qquad Y=y+1,
então a região em (X,Y) é o disco X^{2}+Y^{2}\le 4. Reescrevo o integrando em X,Y.
Temos x=X e y=Y-1. Então
2x^{2}+2y^{2}+x=2X^{2}+2(Y-1)^{2}+X.
Expandindo:
2X^{2}+2(Y^{2}-2Y+1)+X = 2X^{2}+2Y^{2}-4Y+2+X.
O elemento de área permanece dA=dX\,dY. Agora é natural passar para polares em (X,Y).

Passo 6

Passo para coordenadas polares centradas em (X,Y): X=r\cos\theta, Y=r\sin\theta, com 0\le r\le 2 e 0\le\theta\le 2\pi. O jacobiano é dX\,dY = r\,dr\,d\theta.
Escrevo o integrando em termos de r,\theta. Usei que X^{2}+Y^{2}=r^{2}, X=r\cos\theta, Y=r\sin\theta. Portanto
2X^{2}+2Y^{2}-4Y+2+X = 2r^{2}-4r\sin\theta + r\cos\theta + 2.
Multiplicando pelo jacobiano r para formar o integrando em dr\,d\theta, obtemos a função a integrar
\bigl(2r^{2}-4r\sin\theta + r\cos\theta + 2\bigr)r = 2r^{3}-4r^{2}\sin\theta + r^{2}\cos\theta + 2r.

Passo 7

Agora faço as integrais em ordem \theta depois r:
\iint_{D}(2x^{2}+2y^{2}+x)\,dA = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\bigl(2r^{3}-4r^{2}\sin\theta + r^{2}\cos\theta + 2r\bigr)\,dr\,d\theta.
Observação útil (e que simplifica muito): as integrais em \theta dos termos que contêm \sin\theta ou \cos\theta são zero sobre 0 a 2\pi, porque
\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta=0,\qquad \int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta=0.
Portanto os termos -4r^{2}\sin\theta e r^{2}\cos\theta vão sumir após integração em \theta. Restam os termos radiais independentes do ângulo.
Então reduzo para
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\bigl(2r^{3}+2r\bigr)\,dr\,d\theta.

Passo 8

Calculo a integral em r:
\int_{0}^{2}\bigl(2r^{3}+2r\bigr)\,dr = \left[2\cdot\frac{r^{4}}{4} + 2\cdot\frac{r^{2}}{2}\right]_{0}^{2} = \left[\frac{r^{4}}{2} + r^{2}\right]_{0}^{2}.
Avalio em r=2:
\frac{2^{4}}{2} + 2^{2} = \frac{16}{2} + 4 = 8 + 4 = 12.
Agora multiplico pela integral em \theta, que é \int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi. Portanto o fluxo é
2\pi \cdot 12 = 24\pi.

Resposta

24\pi

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