Calcule
, onde
e
é a superficie definida pela parte do parabolowde
contida no semi-espaço
, com normal
tal que
.
Passo 1
Vou identificar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- A função vetor é
. - A superfície
é a parte do paraboloide dada por que está contida no semi-espaço . - A orientação da superfície é tal que o vetor normal satisfaz
(isto é, escolhemos a normal com componente não negativa — a normal “para cima”). - O que se pede: calcular o fluxo
Observação importante que vamos usar adiante: a curva de interseção entre o paraboloide e o plano delimita a projeção no plano
. Essa curva é obtida impondo
(usei a igualdade entre as equações dadas).
Passo 2
Encontrar a região de projeção
no plano
(ou seja, o domínio de integração em coordenadas
).
Partindo de
, reescrevo:
Completo o quadrado em
:
ou seja
Isso significa que a projeção
é o disco centrado em
de raio
:
Passo 3
Escolher a fórmula adequada para integrar o fluxo sobre a superfície
com orientação para cima.
Se uma superfície é dada por
e queremos a orientação cuja componente
do vetor normal é positiva, o elemento vetorial de área é
onde
,
e
é o elemento de área no plano
. Assim o fluxo é
Explicação rápida do porquê: o vetor
é proporcional ao produto vetorial
para a parametrização
, e garante a orientação para cima (componente
positiva).
Passo 4
Aplicar a fórmula ao nosso caso com
.
Calculo as derivadas parciais:
Logo
Avalio
na superfície (ou seja, com
), mas note que
depende de
apenas na terceira componente de
— aqui a terceira componente é
, então não há dependência em
. Assim podemos usar
sem alteração.
O produto escalar que vamos integrar é
Portanto o fluxo reduz-se a
onde
é o disco
.
Passo 5
Para facilitar a integração, faço a mudança de coordenadas que centra o disco na origem: defino
então a região em
é o disco
. Reescrevo o integrando em
.
Temos
e
. Então
Expandindo:
O elemento de área permanece
. Agora é natural passar para polares em
.
Passo 6
Passo para coordenadas polares centradas em
:
,
, com
e
. O jacobiano é
.
Escrevo o integrando em termos de
. Usei que
,
,
. Portanto
Multiplicando pelo jacobiano
para formar o integrando em
, obtemos a função a integrar
Passo 7
Agora faço as integrais em ordem
depois
:
Observação útil (e que simplifica muito): as integrais em
dos termos que contêm
ou
são zero sobre
a
, porque
Portanto os termos
e
vão sumir após integração em
. Restam os termos radiais independentes do ângulo.
Então reduzo para
Passo 8
Calculo a integral em
:
Avalio em
:
Agora multiplico pela integral em
, que é
. Portanto o fluxo é