Calcule \lim _{x \rightarrow 2^{+}} \frac{x^{2}+3 x}{x^{2}-4}.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite à direita
\lim_{x\to 2^{+}} \frac{x^{2}+3x}{x^{2}-4}.
Informações dadas:
  • A expressão a ser analisada é \dfrac{x^{2}+3x}{x^{2}-4}.
  • O ponto de interesse é x=2 e a aproximação é pela direita (valores x>2).
  • Deve-se determinar o comportamento (valor finito ou infinito, e sinal) do quociente quando x se aproxima de 2 por valores maiores que 2.

Passo 2

Vou simplificar a expressão para enxergar melhor o que acontece perto de x=2. Fatorando o denominador:
x^{2}-4=(x-2)(x+2).
Portanto a função pode ser escrita como
\frac{x^{2}+3x}{x^{2}-4}=\frac{x^{2}+3x}{(x-2)(x+2)}.
Isso ajuda porque o problema de limite surge porque o fator (x-2) no denominador se anula em x=2.

Passo 3

Avalio o numerador quando x tende a 2. Substituindo x=2 no numerador (é contínuo) obtemos
\lim_{x\to 2} (x^{2}+3x)=2^{2}+3\cdot2=4+6=10.
Logo o numerador tende para o número positivo 10 (não se anula nem diverge).

Passo 4

Agora analiso o sinal e o comportamento do denominador quando x\to2^{+}.
  • O fator x+2 em x=2 vale 2+2=4, que é positivo e fica próximo de 4 quando x está perto de 2.
  • O fator x-2, para aproximação pela direita ( x>2), é positivo e tende para 0 pela direita, isto é (x-2)\to 0^{+}.
Portanto o produto (x-2)(x+2) tende para 0 com sinal positivo, ou seja
x^{2}-4=(x-2)(x+2)\longrightarrow 0^{+}\quad\text{quando }x\to2^{+}.

Passo 5

Juntando os resultados:
  • Numerador \to 10>0.
  • Denominador \to 0^{+}.
Regra prática: se o numerador tende para um número finito positivo e o denominador tende para 0 com sinal positivo, o quociente tende para +\infty. Assim
\frac{x^{2}+3x}{x^{2}-4}\longrightarrow +\infty\quad\text{quando }x\to2^{+}.

Passo 6

Para intuir melhor, compare com o exemplo mais simples \dfrac{1}{x-2}. Quando x\to2^{+} tem-se \dfrac{1}{x-2}\to+\infty porque o denominador vai para 0^{+}. No nosso caso o numerador é apenas um número positivo próximo de 10, então o comportamento é o mesmo (diverge positivamente).

Passo 7

Conclusão final: o limite lateral pela direita existe no sentido de infinito positivo; a função cresce sem limite quando x se aproxima de 2 por valores maiores que 2.

Resposta

+\infty

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