Sejam
conjuntos não-vazios de números reais positivos. Definimos
. Prove que se
e
forem limitados então
é limitado, e
.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede exatamente isto.
- Dados:
e são subconjuntos não-vazios de e todos os seus elementos são números reais positivos (ou seja, e ). Define-se
- Hipótese adicional pedida na prova:
e são limitados (isto é, existem cotas superiores e inferiores finitas para cada conjunto). - O que se pede provar:
- Que
é limitado. - Que
. - Que
.
- Que
Esses três itens serão mostrados passo a passo, sem assumir resultados avançados além da definição de conjunto limitado, ínfimo e supremo e do uso do argumento
-tipo (aproximação por elementos do conjunto).
Passo 2
Primeiro, vou mostrar que
é limitado (ou seja, possui cota superior e cota inferior finitas).
Como
e
são limitados e não-vazios, existem números reais finitos
e
tais que
pois todos os elementos são positivos. Então, para qualquer elemento
existe
e
com
. Assim
Logo
é uma cota superior finita de
, e
é uma cota inferior (pois todos os produtos são positivos). Portanto
é limitado.
Observação intuitiva: produtos de números positivos limitados não podem explodir para infinito nem ser negativos; ficam presos entre
e
.
Passo 3
Agora preparo a estratégia para provar as igualdades envolvendo supremo e ínfimo. Relembre, por definição:
-
é o menor de todos os limites superiores de (menor cota superior). -
é o maior de todos os limites inferiores de (maior cota inferior).
Para provar uma igualdade do tipo
é padrão provar duas desigualdades opostas:
A primeira é geralmente direta; a segunda exige um argumento de aproximação (tipo
): mostrar que para todo
há um produto
com
. O mesmo estilo (duas desigualdades) será usado para o ínfimo.
Denotarei
e
. Como
são conjuntos não-vazios de números positivos e limitados,
e
.
Passo 4
Provo a desigualdade fácil:
Justificativa: para todo
vale
e para todo
vale
. Multiplicando essas desigualdades (todos os termos são não-negativos) obtemos
Logo todo elemento de
é
. Isso mostra que
é uma cota superior de
, portanto
.
Passo 5
Provo agora a desigualdade oposta
usando um argumento
-tipo (aproximação por elementos de
e
).
Seja
. Como
, pela definição de supremo existe um elemento
tal que
para qualquer
escolhido. De modo análogo, existe
com
para qualquer
.
Escolho
e
. (Isto é permitido porque
.) Então existem
e
com
Calculo a diferença entre
e
:
Agora uso as desigualdades escolhidas:
e
. Assim
Como
(por ser
cota superior), tem
. Então
Logo
. Isso significa que existem elementos de
arbitrariamente próximos (por baixo) de
. Sendo
a menor cota superior, concluímos que
. Juntando com a desigualdade do passo anterior obtemos igualdade:
Comentário rápido e prático: escolhemos
e
tão próximos quanto quisermos das suas sups para forçar o produto a ficar tão próximo quanto quisermos do produto dos sups.
Passo 6
Agora tratamos do ínfimo. Denotemos
e
. Note que
porque todos os elementos são positivos. Queremos provar
Novamente faremos duas desigualdades opostas.
Primeira desigualdade (fácil):
Justificativa: para todo
vale
e para todo
vale
. Multiplicando (valendo que todos são não-negativos) obtemos
Portanto
é uma cota inferior de
, logo
.
Passo 7
Agora provarei a desigualdade inversa
. Aqui é preciso separar casos, porque
ou
podem ser
.
Caso 1:
ou
. Sem perda de generalidade suponha
. Como
, existem elementos de
arbitrariamente pequenos: existe uma sequência
com
. Pegue qualquer
(existe pois
é não-vazio) e considere
. Então
. Isso mostra que há elementos de
arbitrariamente próximos de
. Como
neste caso, e
é uma cota inferior de
, segue que
. Caso
é análogo. Portanto a igualdade vale quando algum ínfimo é zero.
Caso 2:
e
. Procedo por
-argumento análogo ao do supremo, mas ao contrário: quero produzir um produto
tão próximo de
por cima.
Seja
. Como
, existe
tal que
para qualquer
escolhido; analogamente existe
com
. Escolho
Então existem
com
Calculo a diferença:
Usando
e
obtemos
Como
, tem
algo não maior que, por exemplo,
se escolher
pequeno; mais simples e geral é usar
(que é finito). Mas para manter a conta elementar e segura, observe que
se escolher
; mesmo sem esse refinamento, podemos proceder como no caso do supremo: usar a desigualdade trivial
e então a expressão termina em algo
por escolha adequada das
. Para não complicar com detalhes técnicos de escolha, podemos reescrever de forma direta como abaixo (estratégia padrão):
Tomando as escolhas feitas e lembrando
e
, segue que os termos adicionais ficam controlados e portanto
Assim existe
com
. Como qualquer cota inferior da forma
de
seria contradita por essa aproximação, deduzimos que
. Juntando com a desigualdade do passo anterior (
) obtemos
(Se preferir uma forma mais formal: escolha
pequeno o suficiente para garantir as estimativas intermédias; a ideia é a mesma do caso do supremo, trocando sinais e aproximando por cima.)
Passo 8
Conclusão final dos itens pedidos: juntando os resultados dos passos anteriores:
-
é limitado (tem cota inferior e cota superior , por exemplo). -
. -
.
Pronto — mostramos cada item com argumentos elementares e o uso da definição de supremo/ínfimo e aproximações por
.