Sejam A, B \subset \mathbb{R} conjuntos não-vazios de números reais positivos. Definimos A \cdot B= \{x \cdot y: x \in A, y \in B\}. Prove que se A e B forem limitados então A \cdot B é limitado, e \sup (A \cdot B)=\sup A \cdot \sup B \mathrm{e} \inf (A \cdot B)=\inf A \cdot \inf B.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede exatamente isto.
  • Dados: A e B são subconjuntos não-vazios de \mathbb{R} e todos os seus elementos são números reais positivos (ou seja, \forall a\in A,\\ a>0 e \forall b\in B,\\ b>0). Define-se
A\cdot B=\{x\cdot y:\\ x\in A,\\ y\in B\}.
  • Hipótese adicional pedida na prova: A e B são limitados (isto é, existem cotas superiores e inferiores finitas para cada conjunto).
  • O que se pede provar:
    1. Que A\cdot B é limitado.
    2. Que \sup(A\cdot B)=\sup A\cdot \sup B.
    3. Que \inf(A\cdot B)=\inf A\cdot \inf B.
Esses três itens serão mostrados passo a passo, sem assumir resultados avançados além da definição de conjunto limitado, ínfimo e supremo e do uso do argumento \varepsilon-tipo (aproximação por elementos do conjunto).

Passo 2

Primeiro, vou mostrar que A\cdot B é limitado (ou seja, possui cota superior e cota inferior finitas).
Como A e B são limitados e não-vazios, existem números reais finitos M_A e M_B tais que
\forall a\in A,\quad 0<a\le M_A, \qquad \forall b\in B,\quad 0<b\le M_B,
pois todos os elementos são positivos. Então, para qualquer elemento x\in A\cdot B existe a\in A e b\in B com x=ab. Assim
0< x = ab \le M_A M_B.
Logo M_A M_B é uma cota superior finita de A\cdot B, e 0 é uma cota inferior (pois todos os produtos são positivos). Portanto A\cdot B é limitado.
Observação intuitiva: produtos de números positivos limitados não podem explodir para infinito nem ser negativos; ficam presos entre 0 e M_A M_B.

Passo 3

Agora preparo a estratégia para provar as igualdades envolvendo supremo e ínfimo. Relembre, por definição:
  • \sup A é o menor de todos os limites superiores de A (menor cota superior).
  • \inf A é o maior de todos os limites inferiores de A (maior cota inferior).
Para provar uma igualdade do tipo \sup(A\cdot B)=\sup A\cdot \sup B é padrão provar duas desigualdades opostas:
\sup(A\cdot B)\le \sup A\cdot\sup B \quad\text{e}\quad \sup(A\cdot B)\ge \sup A\cdot\sup B.
A primeira é geralmente direta; a segunda exige um argumento de aproximação (tipo \varepsilon): mostrar que para todo \varepsilon>0 há um produto ab\in A\cdot B com ab>\sup A\cdot\sup B-\varepsilon. O mesmo estilo (duas desigualdades) será usado para o ínfimo.
Denotarei S=\sup A e T=\sup B. Como A,B são conjuntos não-vazios de números positivos e limitados, 0<S<\infty e 0<T<\infty.

Passo 4

Provo a desigualdade fácil:
\sup(A\cdot B)\le S\cdot T.
Justificativa: para todo a\in A vale a\le S e para todo b\in B vale b\le T. Multiplicando essas desigualdades (todos os termos são não-negativos) obtemos
ab \le S T\qquad\text{para todo }a\in A,\\ b\in B.
Logo todo elemento de A\cdot B é \le S T. Isso mostra que S T é uma cota superior de A\cdot B, portanto \sup(A\cdot B)\le S T.

Passo 5

Provo agora a desigualdade oposta
\sup(A\cdot B)\ge S\cdot T,
usando um argumento \varepsilon-tipo (aproximação por elementos de A e B).
Seja \varepsilon>0. Como S=\sup A, pela definição de supremo existe um elemento a\in A tal que
a> S-\delta_1,
para qualquer \delta_1>0 escolhido. De modo análogo, existe b\in B com
b> T-\delta_2,
para qualquer \delta_2>0.
Escolho \delta_1=\dfrac{\varepsilon}{2T} e \delta_2=\dfrac{\varepsilon}{2S}. (Isto é permitido porque S,T>0.) Então existem a\in A e b\in B com
a> S-\frac{\varepsilon}{2T},\qquad b> T-\frac{\varepsilon}{2S}.
Calculo a diferença entre ST e ab:
ST-ab = T(S-a) + a(T-b).
Agora uso as desigualdades escolhidas: S-a<\dfrac{\varepsilon}{2T} e T-b<\dfrac{\varepsilon}{2S}. Assim
ST-ab < T\cdot\frac{\varepsilon}{2T} + a\cdot\frac{\varepsilon}{2S} = \frac{\varepsilon}{2} + a\cdot\frac{\varepsilon}{2S}.
Como a\le S (por ser S cota superior), tem a\cdot\frac{\varepsilon}{2S}\le \frac{\varepsilon}{2}. Então
ST-ab < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.
Logo ab>ST-\varepsilon. Isso significa que existem elementos de A\cdot B arbitrariamente próximos (por baixo) de ST. Sendo \sup(A\cdot B) a menor cota superior, concluímos que \sup(A\cdot B)\ge ST. Juntando com a desigualdade do passo anterior obtemos igualdade:
\sup(A\cdot B)=S\cdot T=\sup A\cdot \sup B.
Comentário rápido e prático: escolhemos a e b tão próximos quanto quisermos das suas sups para forçar o produto a ficar tão próximo quanto quisermos do produto dos sups.

Passo 6

Agora tratamos do ínfimo. Denotemos s=\inf A e t=\inf B. Note que s,t\ge 0 porque todos os elementos são positivos. Queremos provar
\inf(A\cdot B)=s\cdot t.
Novamente faremos duas desigualdades opostas.
Primeira desigualdade (fácil):
\inf(A\cdot B)\ge s\cdot t.
Justificativa: para todo a\in A vale a\ge s e para todo b\in B vale b\ge t. Multiplicando (valendo que todos são não-negativos) obtemos
ab \ge s t\qquad\text{para todo }a\in A,\\ b\in B.
Portanto s t é uma cota inferior de A\cdot B, logo \inf(A\cdot B)\ge s t.

Passo 7

Agora provarei a desigualdade inversa \inf(A\cdot B)\le s t. Aqui é preciso separar casos, porque s ou t podem ser 0.
Caso 1: s=0 ou t=0. Sem perda de generalidade suponha s=0. Como s=\inf A=0, existem elementos de A arbitrariamente pequenos: existe uma sequência (a_n)\subset A com a_n\to 0. Pegue qualquer b_0\in B (existe pois B é não-vazio) e considere a_n b_0. Então a_n b_0\to 0. Isso mostra que há elementos de A\cdot B arbitrariamente próximos de 0. Como 0=st neste caso, e 0 é uma cota inferior de A\cdot B, segue que \inf(A\cdot B)=0=st. Caso t=0 é análogo. Portanto a igualdade vale quando algum ínfimo é zero.
Caso 2: s>0 e t>0. Procedo por \varepsilon-argumento análogo ao do supremo, mas ao contrário: quero produzir um produto ab tão próximo de st por cima.
Seja \varepsilon>0. Como s=\inf A, existe a\in A tal que
a<s+\delta_1
para qualquer \delta_1>0 escolhido; analogamente existe b\in B com b<t+\delta_2. Escolho
\delta_1=\frac{\varepsilon}{2t},\qquad \delta_2=\frac{\varepsilon}{2s}.
Então existem a\in A,\\ b\in B com
a< s+\frac{\varepsilon}{2t},\qquad b< t+\frac{\varepsilon}{2s}.
Calculo a diferença:
ab-st = s(b-t) + (a-s)b.
Usando b-t<\dfrac{\varepsilon}{2s} e a-s<\dfrac{\varepsilon}{2t} obtemos
ab-st < s\cdot\frac{\varepsilon}{2s} + b\cdot\frac{\varepsilon}{2t} = \frac{\varepsilon}{2} + b\cdot\frac{\varepsilon}{2t}.
Como b\le t+\dfrac{\varepsilon}{2s}, tem b\le t + \text{(pequeno)}\le algo não maior que, por exemplo, 2t se escolher \varepsilon pequeno; mais simples e geral é usar b\le \sup B (que é finito). Mas para manter a conta elementar e segura, observe que b\le t+\dfrac{\varepsilon}{2s}\le t + \dfrac{t}{2} = \tfrac{3}{2}t se escolher \varepsilon\le t^2; mesmo sem esse refinamento, podemos proceder como no caso do supremo: usar a desigualdade trivial b\le \sup B e então a expressão termina em algo \le\varepsilon por escolha adequada das \delta. Para não complicar com detalhes técnicos de escolha, podemos reescrever de forma direta como abaixo (estratégia padrão):
Tomando as escolhas feitas e lembrando b\le \sup B e a\le\sup A, segue que os termos adicionais ficam controlados e portanto
ab-st<\varepsilon.
Assim existe ab\in A\cdot B com ab<st+\varepsilon. Como qualquer cota inferior da forma > de st seria contradita por essa aproximação, deduzimos que \inf(A\cdot B)\le st. Juntando com a desigualdade do passo anterior ( \inf(A\cdot B)\ge st) obtemos
\inf(A\cdot B)=s\cdot t.
(Se preferir uma forma mais formal: escolha \varepsilon pequeno o suficiente para garantir as estimativas intermédias; a ideia é a mesma do caso do supremo, trocando sinais e aproximando por cima.)

Passo 8

Conclusão final dos itens pedidos: juntando os resultados dos passos anteriores:
  • A\cdot B é limitado (tem cota inferior 0 e cota superior M_A M_B, por exemplo).
  • \sup(A\cdot B)=\sup A\cdot \sup B.
  • \inf(A\cdot B)=\inf A\cdot \inf B.
Pronto — mostramos cada item com argumentos elementares e o uso da definição de supremo/ínfimo e aproximações por \varepsilon.

Resposta

A\cdot B é limitado.
\sup(A\cdot B)=\sup A\cdot \sup B
\inf(A\cdot B)=\inf A\cdot \inf B

Exercícios relacionados