Sejam
,
conjuntos limitados tais que
e
.
Se para cada
, existe
tal que
, prove que
.
Se para cada
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Dados:
-
são conjuntos limitados. -
e . - Para todo
existe tal que .
-
- O que é pedido:
- Provar que
.
- Provar que
Observação necessária (implícita): para que
e
existam como números reais, assumimos que
(e então
) não são vazios; a hipótese dada força
não vazio quando
não é vazio. Vou trabalhar sob essa hipótese padrão.
Passo 2
Relembrando definicões e uma propriedade básica que vamos usar.
- Definição: um número
é uma cota inferior (lower bound) de um conjunto se, para todo , tem-se . - Definição:
(ínfimo de ) é o maior dos números que são cotas inferiores de . Ou seja, e se é qualquer outra cota inferior de então .
Propriedade simples que decorre da definição e que será usada: se
então
Explicação curta: toda cota inferior de
é também cota inferior de
(pois
tem menos elementos), logo o maior lower bound de
não pode ser menor que o de
; invertendo,
.
Aplicando isso ao nosso caso com
obtemos imediatamente
Passo 3
Queremos a desigualdade inversa
. Para isso usamos a propriedade aproximativa do ínfimo:
Propriedade (caracterização por
): para um conjunto não vazio
e seu ínfimo
, vale: para todo
existe
tal que
Justificativa rápida: se existisse
tal que todo
satisfizesse
, então
seria uma cota inferior maior que
, contradizendo que
é o maior lower bound.
Aplicando essa propriedade ao conjunto
: dado
, existe
com
Passo 4
Usando a hipótese que relaciona
e
: para esse
existe
tal que
. Portanto, para esse
obtemos
Como
é menor ou igual a qualquer elemento de
, em particular a
, segue que
Assim temos mostrado que, para todo
,
o que implica
pois uma desigualdade do tipo
para todo
força
.
Passo 5
Juntando as duas desigualdades obtidas:
e
concluímos que