Sejam A, A^{\prime}, B, B^{\prime} \subset \mathbb{R} conjuntos limitados tais que A^{\prime} \subset A e B^{\prime} \subset B.
Se para cada b \in B, existe b^{\prime} \in B^{\prime} tal que b^{\prime} \leqslant b, prove que \inf B^{\prime}=\inf B.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados:
    • A, A', B, B' \subset \mathbb{R} são conjuntos limitados.
    • A' \subset A e B' \subset B.
    • Para todo b \in B existe b' \in B' tal que b' \leqslant b.
  • O que é pedido:
    • Provar que \inf B' = \inf B.
Observação necessária (implícita): para que \inf B e \inf B' existam como números reais, assumimos que B (e então B') não são vazios; a hipótese dada força B' não vazio quando B não é vazio. Vou trabalhar sob essa hipótese padrão.

Passo 2

Relembrando definicões e uma propriedade básica que vamos usar.
  • Definição: um número L é uma cota inferior (lower bound) de um conjunto S\subset\mathbb{R} se, para todo s\in S, tem-se L\le s.
  • Definição: \inf S (ínfimo de S) é o maior dos números que são cotas inferiores de S. Ou seja, \inf S \le s\quad\text{para todo }s\in S,e se L é qualquer outra cota inferior de S então L\le \inf S.
Propriedade simples que decorre da definição e que será usada: se S_1\subset S_2 então
\inf S_2 \le \inf S_1.
Explicação curta: toda cota inferior de S_2 é também cota inferior de S_1 (pois S_1 tem menos elementos), logo o maior lower bound de S_1 não pode ser menor que o de S_2; invertendo, \inf S_2 \le \inf S_1.
Aplicando isso ao nosso caso com B' \subset B obtemos imediatamente
\inf B \le \inf B'.

Passo 3

Queremos a desigualdade inversa \inf B' \le \inf B. Para isso usamos a propriedade aproximativa do ínfimo:
Propriedade (caracterização por \varepsilon): para um conjunto não vazio S e seu ínfimo \inf S, vale: para todo \varepsilon>0 existe s\in S tal que
s < \inf S + \varepsilon.
Justificativa rápida: se existisse \varepsilon_0>0 tal que todo s\in S satisfizesse s \ge \inf S + \varepsilon_0, então \inf S + \varepsilon_0 seria uma cota inferior maior que \inf S, contradizendo que \inf S é o maior lower bound.
Aplicando essa propriedade ao conjunto B: dado \varepsilon>0, existe b\in B com
b < \inf B + \varepsilon.

Passo 4

Usando a hipótese que relaciona B e B': para esse b\in B existe b'\in B' tal que b' \le b. Portanto, para esse b' obtemos
b' \le b < \inf B + \varepsilon.
Como \inf B' é menor ou igual a qualquer elemento de B', em particular a b', segue que
\inf B' \le b' < \inf B + \varepsilon.
Assim temos mostrado que, para todo \varepsilon>0,
\inf B' < \inf B + \varepsilon,
o que implica
\inf B' \le \inf B,
pois uma desigualdade do tipo x < y + \varepsilon para todo \varepsilon>0 força x \le y.

Passo 5

Juntando as duas desigualdades obtidas:
\inf B \le \inf B' \quad\text{(porque }B'\subset B\text{)}
e
\inf B' \le \inf B \quad\text{(pela construção com \(\varepsilon\))},çã
concluímos que
\inf B' = \inf B.

Resposta

\inf B'=\inf B

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