Calcule
, onde
e
é a fronteira do sólido
limitado pelo paraboloide
e pelo plano
.
Escolha uma opção:
◯ a. 763.41
◯ b. 523.6
◯ c. 1570.80
◯ d. 2144.66
◯ e. 670.21
◯ a. 763.41
◯ b. 523.6
◯ c. 1570.80
◯ d. 2144.66
◯ e. 670.21
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dá o campo vetorial
. - Dá a superfície
que é a fronteira do sólido limitado pelo paraboloide e pelo plano . Ou seja, . - Pede o fluxo total através de
, isto é calcular . - Observação: a região de projeção no plano
é o disco .
Passo 2
Escolha do método e por quê (explicação didática):
- Queremos o fluxo através da superfície fechada
. Para fluxos através de superfície fechada é natural usar o Teorema da Divergência (também chamado Teorema de Gauss), pois transforma a integral de superfície fechada numa integral tripla sobre o volume interior, que costuma ser mais simples de calcular. - Enunciado do Teorema da Divergência (forma usada aqui): para um campo vetorial suficientemente regular
e um sólido com fronteira orientada para fora,
onde
.
- Vou usar esse teorema porque
é a fronteira de um sólido simples e a divergência do campo é fácil de calcular.
Passo 3
Calcular a divergência
:
- Escrevendo componentes:
, , . - Calcular as derivadas parciais:
-
(trata como constante). -
(não há dependência em ). -
.
-
- Portanto
Passo 4
Montar a integral tripla sobre
e simplificar:
- Pelo Teorema da Divergência,
- Descrever
em coordenadas cartesianas: percorrem o disco e vai de até . Então podemos integrar primeiro em :
- A integral em
dá a altura , logo
- Como a região é o disco unitário e a integranda depende só de
, usar coordenadas polares é o mais simples: - Em polares:
, , , e . - Limites:
, .
- Em polares:
- A integral fica
Passo 5
Calcular a integral radial e finalizar:
- Desenvolver a integral radial:
- Calcular
. - Agora a integral angular é
. Juntando tudo:
- Valor numérico aproximado (usar
):