Calcule \iint_{S} \vec{F} \cdot d \vec{S}, onde \left.\vec{F}(x, y, z)=<1000 x y^{2}, x \operatorname{sen}(z), 1000 x^{2} z\right)> e S é a fronteira do sólido E limitado pelo paraboloide z=1-x^{2}-y^{2} e pelo plano z=0.
Escolha uma opção:
◯ a. 763.41
◯ b. 523.6
◯ c. 1570.80
◯ d. 2144.66
◯ e. 670.21

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá o campo vetorial \vec{F}(x,y,z)=\langle 1000\,x\,y^{2},\; x\,\operatorname{sen}(z),\;1000\,x^{2}\,z\rangle.
  • Dá a superfície S que é a fronteira do sólido E limitado pelo paraboloide z=1-x^{2}-y^{2} e pelo plano z=0. Ou seja, E=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}\le 1,\;0\le z\le 1-x^{2}-y^{2}\}.
  • Pede o fluxo total através de S, isto é calcular \iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S}.
  • Observação: a região de projeção no plano xy é o disco x^{2}+y^{2}\le 1.

Passo 2

Escolha do método e por quê (explicação didática):
  • Queremos o fluxo através da superfície fechada S=\partial E. Para fluxos através de superfície fechada é natural usar o Teorema da Divergência (também chamado Teorema de Gauss), pois transforma a integral de superfície fechada numa integral tripla sobre o volume interior, que costuma ser mais simples de calcular.
  • Enunciado do Teorema da Divergência (forma usada aqui): para um campo vetorial suficientemente regular \vec{F} e um sólido E com fronteira S orientada para fora,
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S}=\iiint_{E} \operatorname{div}\vec{F}\,dV,
onde \operatorname{div}\vec{F}=\dfrac{\partial F_1}{\partial x}+\dfrac{\partial F_2}{\partial y}+\dfrac{\partial F_3}{\partial z}.
  • Vou usar esse teorema porque S é a fronteira de um sólido simples e a divergência do campo é fácil de calcular.

Passo 3

Calcular a divergência \operatorname{div}\vec{F}:
  • Escrevendo componentes: F_1=1000\,x\,y^{2}, F_2=x\,\operatorname{sen}(z), F_3=1000\,x^{2}\,z.
  • Calcular as derivadas parciais:
    • \dfrac{\partial F_1}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}\big(1000\,x\,y^{2}\big)=1000\,y^{2} (trata y como constante).
    • \dfrac{\partial F_2}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}\big(x\,\operatorname{sen}(z)\big)=0 (não há dependência em y).
    • \dfrac{\partial F_3}{\partial z}=\dfrac{\partial}{\partial z}\big(1000\,x^{2}\,z\big)=1000\,x^{2}.
  • Portanto
\operatorname{div}\vec{F}=1000\,y^{2}+0+1000\,x^{2}=1000\big(x^{2}+y^{2}\big).

Passo 4

Montar a integral tripla sobre E e simplificar:
  • Pelo Teorema da Divergência,
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S}=\iiint_{E}1000\big(x^{2}+y^{2}\big)\,dV.
  • Descrever E em coordenadas cartesianas: (x,y) percorrem o disco x^{2}+y^{2}\le 1 e z vai de 0 até 1-x^{2}-y^{2}. Então podemos integrar primeiro em z:
\iiint_{E}1000\big(x^{2}+y^{2}\big)\,dV = \iint_{x^{2}+y^{2}\le 1} \left(1000\big(x^{2}+y^{2}\big)\int_{z=0}^{1-x^{2}-y^{2}} dz \right) dA.
  • A integral em z dá a altura 1-x^{2}-y^{2}, logo
\iint_{x^{2}+y^{2}\le 1}1000\big(x^{2}+y^{2}\big)\big(1-x^{2}-y^{2}\big)\,dA.
  • Como a região é o disco unitário e a integranda depende só de r^{2}=x^{2}+y^{2}, usar coordenadas polares é o mais simples:
    • Em polares: x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, x^{2}+y^{2}=r^{2}, e dA=r\,dr\,d\theta.
    • Limites: r\in[0,1], \theta\in[0,2\pi].
  • A integral fica
\iint = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} 1000\, r^{2}\big(1-r^{2}\big)\, r\,dr\,d\theta =1000\int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{1} r^{3}\big(1-r^{2}\big)\,dr.

Passo 5

Calcular a integral radial e finalizar:
  • Desenvolver a integral radial:
\int_{0}^{1} r^{3}\big(1-r^{2}\big)\,dr = \int_{0}^{1}\big(r^{3}-r^{5}\big)\,dr = \left[\dfrac{r^{4}}{4}-\dfrac{r^{6}}{6}\right]_{0}^{1} = \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{6}.
  • Calcular \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{3-2}{12}=\dfrac{1}{12}.
  • Agora a integral angular é \int_{0}^{2\pi} d\theta=2\pi. Juntando tudo:
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S}=1000\cdot 2\pi\cdot \dfrac{1}{12} =1000\cdot \dfrac{\pi}{6} =\dfrac{1000}{6}\pi=\dfrac{500}{3}\pi.
  • Valor numérico aproximado (usar \pi\approx 3,14159265):
\dfrac{500}{3}\pi\approx 523,5987756\approx 523,6.

Resposta

\dfrac{500}{3}\pi\approx 523,6 (opção b)

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