8.Determine a derivada direcional da função
no ponto
e na direção indicada pelo ângulo
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Função dada:
. - Ponto onde se quer a derivada direcional:
. - Direção indicada pelo ângulo:
. - O que é pedido: calcular a derivada direcional de
em na direção que forma com o eixo .
Passo 2
Converter o ângulo em um vetor de direção unitário.
A direção em coordenadas cartesianas correspondente ao ângulo é o vetor
. Para
temos os valores conhecidos:
A direção em coordenadas cartesianas correspondente ao ângulo
Logo o vetor unitário na direção pedida é
(Esse vetor já tem norma
, então não é necessário normalizar.)
Passo 3
Definição e fórmula prática da derivada direcional.
A derivada direcional de no ponto
na direção do vetor unitário
é, por definição,
A derivada direcional de
Quando
é diferenciável, existe uma fórmula muito prática: a derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente de
em
e
:
Aqui
. Vou usar essa fórmula (é a mais rápida na prova), mas depois faço uma verificação pela definição-limite.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais (ou seja, o gradiente).
- Para
: tratar como constante. Como , a derivada em relação a é
(Explicando: derivada de
é
, o fator
é constante em
.)
- Para
: tratar como constante. Usando derivada de que é ,
Portanto o gradiente geral é
Passo 5
Avaliar o gradiente no ponto
.
Substituindo e
e lembrando que
, obtemos
Substituindo
Passo 6
Calcular a derivada direcional usando o produto escalar.
Usando e
,
Usando
Se quiser uma aproximação numérica,
, então
Interpretação rápida: o valor negativo indica que, infinitesimalmente, a função decresce quando nos movemos a partir de
na direção de
.
Passo 7
Verificação rápida pelo limite (opcional, para entender por que a fórmula do gradiente funciona).
Tomamos a parametrização da reta na direção :
. Então
Tomamos a parametrização da reta na direção
Expandindo
quando
, obtemos
Logo
e tomando
surge
, que é exatamente
. Isso confirma o resultado do produto escalar.