8.Determine a derivada direcional da função f(x, y)=x e^{-y} no ponto (2,0) e na direção indicada pelo ângulo \theta=30^{\circ}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Função dada: f(x,y)=x e^{-y}.
  • Ponto onde se quer a derivada direcional: (2,0).
  • Direção indicada pelo ângulo: \theta=30^\circ.
  • O que é pedido: calcular a derivada direcional de f em (2,0) na direção que forma \theta=30^\circ com o eixo x.

Passo 2

Converter o ângulo em um vetor de direção unitário.
A direção em coordenadas cartesianas correspondente ao ângulo \theta é o vetor (\cos\theta,\sin\theta). Para \theta=30^\circ temos os valores conhecidos:
\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin 30^\circ=\frac{1}{2}.
Logo o vetor unitário na direção pedida é
\mathbf{u}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\,\frac{1}{2}\right).
(Esse vetor já tem norma 1, então não é necessário normalizar.)

Passo 3

Definição e fórmula prática da derivada direcional.
A derivada direcional de f no ponto (a,b) na direção do vetor unitário \mathbf{u}=(u_1,u_2) é, por definição,
D_{\mathbf{u}}f(a,b)=\lim_{t\to0}\frac{f(a+t u_1,\;b+t u_2)-f(a,b)}{t}.
Quando f é diferenciável, existe uma fórmula muito prática: a derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente de f em (a,b) e \mathbf{u}:
D_{\mathbf{u}}f(a,b)=\nabla f(a,b)\cdot\mathbf{u}.
Aqui \nabla f=(\partial f/\partial x,\;\partial f/\partial y). Vou usar essa fórmula (é a mais rápida na prova), mas depois faço uma verificação pela definição-limite.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais (ou seja, o gradiente).
  • Para \partial f/\partial x: tratar y como constante. Como f(x,y)=x e^{-y}, a derivada em relação a x é
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=e^{-y}.
(Explicando: derivada de x é 1, o fator e^{-y} é constante em x.)
  • Para \partial f/\partial y: tratar x como constante. Usando derivada de e^{-y} que é -e^{-y},
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x\cdot\frac{d}{dy}(e^{-y})=x(-e^{-y})=-x e^{-y}.
Portanto o gradiente geral é
\boxed{\nabla f(x,y)=\bigl(e^{-y},\,-x e^{-y}\bigr).}

Passo 5

Avaliar o gradiente no ponto (2,0).
Substituindo x=2 e y=0 e lembrando que e^{0}=1, obtemos
\nabla f(2,0)=\bigl(e^{0},\,-2 e^{0}\bigr)=(1,\,-2).

Passo 6

Calcular a derivada direcional usando o produto escalar.
Usando \nabla f(2,0)=(1,-2) e \mathbf{u}=\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2},\tfrac{1}{2}\bigr),
D_{\mathbf{u}}f(2,0)=\nabla f(2,0)\cdot\mathbf{u} =1\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+(-2)\cdot\frac{1}{2} =\frac{\sqrt{3}}{2}-1.
Se quiser uma aproximação numérica, \tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx0,866, então
D_{\mathbf{u}}f(2,0)\approx 0,866-1=-0,134\\ (\text{aprox.}).
Interpretação rápida: o valor negativo indica que, infinitesimalmente, a função decresce quando nos movemos a partir de (2,0) na direção de 30^\circ.

Passo 7

Verificação rápida pelo limite (opcional, para entender por que a fórmula do gradiente funciona).
Tomamos a parametrização da reta na direção \mathbf{u}: (x(t),y(t))=(2+t\cos30^\circ,\;0+t\sin30^\circ). Então
f(x(t),y(t))=(2+t\cos30^\circ)\,e^{-t\sin30^\circ}.
Expandindo e^{-t\sin30^\circ}=1-t\sin30^\circ+o(t) quando t\to0, obtemos
f(x(t),y(t))=(2+t\cos30^\circ)\bigl(1-t\sin30^\circ+o(t)\bigr) =2+t(\cos30^\circ-2\sin30^\circ)+o(t).
Logo
\frac{f(x(t),y(t))-f(2,0)}{t}=\cos30^\circ-2\sin30^\circ+o(1),
e tomando t\to0 surge \cos30^\circ-2\sin30^\circ, que é exatamente \tfrac{\sqrt{3}}{2}-1. Isso confirma o resultado do produto escalar.

Resposta

\dfrac{\sqrt{3}}{2}-1

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