Determine as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem.
As incógnitas que vamos calcular são, explicitamente:
As incógnitas que vamos calcular são, explicitamente:
- derivadas de primeira ordem:
e ; - derivadas de segunda ordem:
, , e .
Vou mostrar passo a passo como diferenciar termo a termo, lembrando as regras básicas (cadeia, produto quando necessário) e tratando sempre a variável que não derivamos como constante.
Passo 2
Relembrando as regras que vou usar (com linguagem simples):
- Para diferenciar
em relação a uma variável, usa-se a regra da cadeia: a derivada é , onde é a derivada de . - Para diferenciar
, usa-se também a regra da cadeia: a derivada é . - Ao calcular
trata-se como constante; ao calcular trata-se como constante. - Se aparecer um produto de duas funções de
, aplica-se a regra do produto: , e análogo para .
Vamos aplicar isso termo a termo em
.
Passo 3
Cálculo de
.
Derivando o primeiro termo
em relação a
:
- tome
. Então, pela cadeia,
- Como
é constante aqui, . Logo
Derivando o segundo termo
em relação a
:
- tome
. Então
- Como
é constante, . Portanto
Somando os dois resultados:
Passo 4
Cálculo de
.
Derivando o primeiro termo
em relação a
:
- pela cadeia, com
,
- Agora
é constante, . Logo
Derivando o segundo termo
em relação a
:
- Como
é constante, . Assim
Somando:
Passo 5
Cálculo de
(derivar
em relação a
).
Recordando
.
Derive termo a termo em relação a
(aqui
é constante):
- Para
: fator constante . Pela cadeia,
- Para
:
Somando:
Passo 6
Cálculo de
(derivar
em relação a
).
Começamos de
e derivamos em relação a
(agora
é tratado como constante).
Para o termo
usamos a regra do produto (pois é produto de
por
):
- Derivada de
em relação a é , então contribui . - Mais a contribuição de
vezes a derivada de em relação a : . - Somando essas duas partes obtemos
.
Para o termo
:
Somando tudo:
Passo 7
Cálculo de
(derivar
em relação a
).
Recordando
. Derivamos em relação a
(aqui
é constante).
Para
aplicamos regra do produto:
- derivada de
é , dando ; - mais
vezes derivada de em relação a : . - Somando:
.
Para
:
Somando:
Observação curta: as duas derivadas mistas coincidem, como era de se esperar para funções suficientes contínuas (teorema de igualdade das derivadas mistas).
Passo 8
Cálculo de
(derivar
em relação a
).
Partimos de
e derivamos em relação a
(aqui
é constante).
Para
:
é constante multiplicativa, então
Para
:
Somando: