Determine as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das funções abaixo:
f(x, y)=\cos (x y)-e^{2 x-y}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\cos(xy)-e^{2x-y}
e pede para determinar as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem.
As incógnitas que vamos calcular são, explicitamente:
  • derivadas de primeira ordem: \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y};
  • derivadas de segunda ordem: \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}, \dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} e \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}.
Vou mostrar passo a passo como diferenciar termo a termo, lembrando as regras básicas (cadeia, produto quando necessário) e tratando sempre a variável que não derivamos como constante.

Passo 2

Relembrando as regras que vou usar (com linguagem simples):
  • Para diferenciar \cos(u) em relação a uma variável, usa-se a regra da cadeia: a derivada é -\sin(u)\cdot u', onde u' é a derivada de u.
  • Para diferenciar e^{u}, usa-se também a regra da cadeia: a derivada é e^{u}\cdot u'.
  • Ao calcular \dfrac{\partial}{\partial x} trata-se y como constante; ao calcular \dfrac{\partial}{\partial y} trata-se x como constante.
  • Se aparecer um produto de duas funções de x,y, aplica-se a regra do produto: \dfrac{\partial}{\partial x}(uv)=u_x v + u v_x, e análogo para \partial/\partial y.
Vamos aplicar isso termo a termo em f(x,y)=\cos(xy)-e^{2x-y}.

Passo 3

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial x}.
Derivando o primeiro termo \cos(xy) em relação a x:
  • tome u(x,y)=xy. Então, pela cadeia,
\frac{\partial}{\partial x}\cos(xy) = -\sin(xy)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(xy).
  • Como y é constante aqui, \dfrac{\partial}{\partial x}(xy)=y. Logo
\frac{\partial}{\partial x}\cos(xy) = -y\sin(xy).
Derivando o segundo termo -e^{2x-y} em relação a x:
  • tome v(x,y)=2x-y. Então
\frac{\partial}{\partial x}\big(-e^{2x-y}\big) = -e^{2x-y}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(2x-y).
  • Como y é constante, \dfrac{\partial}{\partial x}(2x-y)=2. Portanto
\frac{\partial}{\partial x}\big(-e^{2x-y}\big) = -2e^{2x-y}.
Somando os dois resultados:
\boxed{\frac{\partial f}{\partial x} = -y\sin(xy)-2e^{2x-y}.}

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial y}.
Derivando o primeiro termo \cos(xy) em relação a y:
  • pela cadeia, com u(x,y)=xy,
\frac{\partial}{\partial y}\cos(xy) = -\sin(xy)\cdot\frac{\partial}{\partial y}(xy).
  • Agora x é constante, \dfrac{\partial}{\partial y}(xy)=x. Logo
\frac{\partial}{\partial y}\cos(xy) = -x\sin(xy).
Derivando o segundo termo -e^{2x-y} em relação a y:
\frac{\partial}{\partial y}\big(-e^{2x-y}\big) = -e^{2x-y}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(2x-y).
  • Como x é constante, \dfrac{\partial}{\partial y}(2x-y)=-1. Assim
\frac{\partial}{\partial y}\big(-e^{2x-y}\big) = -e^{2x-y}\cdot(-1)=+e^{2x-y}.
Somando:
\boxed{\frac{\partial f}{\partial y} = -x\sin(xy)+e^{2x-y}.}

Passo 5

Cálculo de \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} (derivar \dfrac{\partial f}{\partial x} em relação a x).
Recordando \dfrac{\partial f}{\partial x} = -y\sin(xy)-2e^{2x-y}.
Derive termo a termo em relação a x (aqui y é constante):
  • Para -y\sin(xy): fator constante -y. Pela cadeia,
\frac{\partial}{\partial x}\big(-y\sin(xy)\big) = -y\cdot\cos(xy)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(xy) = -y\cdot\cos(xy)\cdot y = -y^2\cos(xy).
  • Para -2e^{2x-y}:
\frac{\partial}{\partial x}\big(-2e^{2x-y}\big) = -2e^{2x-y}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(2x-y) = -2e^{2x-y}\cdot 2 = -4e^{2x-y}.
Somando:
\boxed{\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = -y^2\cos(xy)-4e^{2x-y}.}

Passo 6

Cálculo de \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} (derivar \dfrac{\partial f}{\partial x} em relação a y).
Começamos de \dfrac{\partial f}{\partial x} = -y\sin(xy)-2e^{2x-y} e derivamos em relação a y (agora x é tratado como constante).
Para o termo -y\sin(xy) usamos a regra do produto (pois é produto de -y por \sin(xy)):
  • Derivada de -y em relação a y é -1, então contribui -1\cdot\sin(xy) = -\sin(xy).
  • Mais a contribuição de -y vezes a derivada de \sin(xy) em relação a y: -y\cdot\cos(xy)\cdot\frac{\partial}{\partial y}(xy) = -y\cdot\cos(xy)\cdot x = -xy\cos(xy).
  • Somando essas duas partes obtemos -\sin(xy)-xy\cos(xy).
Para o termo -2e^{2x-y}:
\frac{\partial}{\partial y}\big(-2e^{2x-y}\big) = -2e^{2x-y}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(2x-y) = -2e^{2x-y}\cdot(-1)=+2e^{2x-y}.
Somando tudo:
\boxed{\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} = -\sin(xy)-xy\cos(xy)+2e^{2x-y}.}

Passo 7

Cálculo de \dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} (derivar \dfrac{\partial f}{\partial y} em relação a x).
Recordando \dfrac{\partial f}{\partial y} = -x\sin(xy)+e^{2x-y}. Derivamos em relação a x (aqui y é constante).
Para -x\sin(xy) aplicamos regra do produto:
  • derivada de -x é -1, dando -\sin(xy);
  • mais -x vezes derivada de \sin(xy) em relação a x: -x\cdot\cos(xy)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(xy) = -x\cdot\cos(xy)\cdot y = -xy\cos(xy).
  • Somando: -\sin(xy)-xy\cos(xy).
Para e^{2x-y}:
\frac{\partial}{\partial x}e^{2x-y} = e^{2x-y}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(2x-y) = e^{2x-y}\cdot 2 = 2e^{2x-y}.
Somando:
\boxed{\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} = -\sin(xy)-xy\cos(xy)+2e^{2x-y}.}
Observação curta: as duas derivadas mistas coincidem, como era de se esperar para funções suficientes contínuas (teorema de igualdade das derivadas mistas).

Passo 8

Cálculo de \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} (derivar \dfrac{\partial f}{\partial y} em relação a y).
Partimos de \dfrac{\partial f}{\partial y} = -x\sin(xy)+e^{2x-y} e derivamos em relação a y (aqui x é constante).
Para -x\sin(xy): -x é constante multiplicativa, então
\frac{\partial}{\partial y}\big(-x\sin(xy)\big) = -x\cdot\cos(xy)\cdot\frac{\partial}{\partial y}(xy) = -x\cdot\cos(xy)\cdot x = -x^2\cos(xy).
Para e^{2x-y}:
\frac{\partial}{\partial y}e^{2x-y} = e^{2x-y}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(2x-y) = e^{2x-y}\cdot(-1) = -e^{2x-y}.
Somando:
\boxed{\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -x^2\cos(xy)-e^{2x-y}.}

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x} = -y\sin(xy)-2e^{2x-y}
\dfrac{\partial f}{\partial y} = -x\sin(xy)+e^{2x-y}
\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} = -y^2\cos(xy)-4e^{2x-y}
\dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} = -\sin(xy)-xy\cos(xy)+2e^{2x-y}
\dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} = -\sin(xy)-xy\cos(xy)+2e^{2x-y}
\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -x^2\cos(xy)-e^{2x-y}

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