Considere a função
, definida por
.
a) Mostre que a função
é diferenciável no ponto ( 3,4 ).
b) Encontre uma linearização
de
no ponto
.
c) Use tal linearização para aproximar o número
.
a) Mostre que a função
b) Encontre uma linearização
c) Use tal linearização para aproximar o número
Passo 1
O enunciado nos dá a função
definida por
As perguntas são:
- (a) Mostrar que
é diferenciável no ponto . - (b) Encontrar uma linearização
de no ponto . - (c) Usar essa linearização para aproximar
.
Informações relevantes que temos do enunciado:
- A função é composta por um termo polinomial
e por uma raiz . - No ponto dado
vale , ou seja, o denominador que aparece ao derivar a raiz não se anula ali.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais de
e discutir sua continuidade — isso nos ajudará a mostrar diferenciabilidade em
.
Primeiro, relembrando as regras que vamos usar (rápido e mastigado):
- Regra do produto: se
então . - Regra da cadeia para a raiz: se
então .
Aplicando ao nosso
:
Derivando em relação a
:
- Para
(trate como constante), a derivada é (produto simples: derive dando e multiplique por ). - Para
, apliquei a regra da cadeia com . Então
Com o sinal menos fica
.
Logo
Agora derivada parcial em relação a
:
- Para
, derivando em dá . - Para
, pela regra da cadeia a derivada em é .
Portanto
Comentário sobre continuidade das parciais (por que isso garante diferenciabilidade): ambas as expressões para
e
são combinações de somas, produtos e quocientes de funções polinomiais e da função
. Essas operações produzem funções contínuas em todo ponto onde o denominador
não é zero. No ponto
temos
, então existe uma vizinhança de
onde as duas derivadas parciais são contínuas. Pelo teorema padrão de cálculo em várias variáveis: se as derivadas parciais existem num vizinhoho e são contínuas em um ponto, então a função é diferenciável nesse ponto. Portanto
é diferenciável em
.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais no ponto
de forma numérica, mostrando as contas passo a passo.
Primeiro, o valor de
em
:
Agora
em
:
Fazendo a conta em fração:
E
em
:
Em fração:
Portanto o gradiente em
é
Passo 4
Construção da linearização (plano tangente). A linearização de
em torno de
é a aproximação afim
Substituindo os valores que calculamos:
Explicando rápido: esse
é a equação do plano tangente à superfície
no ponto
. Na prova, quando pedem “linearização”, é isso mesmo: approximar pela expressão linear em
e
.
Passo 5
Usar
para aproximar
.
Calcule as diferenças:
Agora aplique
:
Façamos as multiplicações passo a passo:
Somando:
Interpretação final curta: pela linearização, a aproximação de
é
. (O erro da aproximação é pequeno porque
é pequeno; se quisesse, poderíamos estimar o erro usando derivadas de segunda ordem, mas não foi pedido.)