Considere a função f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, definida por f(x, y)=x^{2} y-\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
a) Mostre que a função f é diferenciável no ponto ( 3,4 ).
b) Encontre uma linearização L(x, y) de f no ponto (3,4).
c) Use tal linearização para aproximar o número f(3,01 ; 3,98).

Passo 1

O enunciado nos dá a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por
f(x,y)=x^{2}y-\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
As perguntas são:
  • (a) Mostrar que f é diferenciável no ponto (3,4).
  • (b) Encontrar uma linearização L(x,y) de f no ponto (3,4).
  • (c) Usar essa linearização para aproximar f(3,01;\,3,98).
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • A função é composta por um termo polinomial x^{2}y e por uma raiz \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • No ponto dado (3,4) vale \sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{25}=5, ou seja, o denominador que aparece ao derivar a raiz não se anula ali.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de f e discutir sua continuidade — isso nos ajudará a mostrar diferenciabilidade em (3,4).
Primeiro, relembrando as regras que vamos usar (rápido e mastigado):
  • Regra do produto: se g(x,y)=u(x,y)\,v(x,y) então \partial g/\partial x = (\partial u/\partial x)\,v + u\,(\partial v/\partial x).
  • Regra da cadeia para a raiz: se h(x,y)=\sqrt{w(x,y)}=(w(x,y))^{1/2} então \partial h/\partial x = \tfrac{1}{2}(w)^{-1/2}\,\partial w/\partial x.
Aplicando ao nosso f:
f(x,y)=x^{2}y-\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Derivando em relação a x:
  • Para x^{2}y (trate y como constante), a derivada é 2xy (produto simples: derive x^{2} dando 2x e multiplique por y).
  • Para -\sqrt{x^{2}+y^{2}}, apliquei a regra da cadeia com w(x,y)=x^{2}+y^{2}. Então
\frac{\partial}{\partial x}\sqrt{w}=\frac{1}{2\sqrt{w}}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
Com o sinal menos fica -\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
Logo
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2xy-\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
Agora derivada parcial em relação a y:
  • Para x^{2}y, derivando em y x^{2}.
  • Para -\sqrt{x^{2}+y^{2}}, pela regra da cadeia a derivada em y é -\dfrac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x^{2}-\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
Comentário sobre continuidade das parciais (por que isso garante diferenciabilidade): ambas as expressões para \partial f/\partial x e \partial f/\partial y são combinações de somas, produtos e quocientes de funções polinomiais e da função (x,y)\mapsto\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Essas operações produzem funções contínuas em todo ponto onde o denominador \sqrt{x^{2}+y^{2}} não é zero. No ponto (3,4) temos \sqrt{3^{2}+4^{2}}=5\neq 0, então existe uma vizinhança de (3,4) onde as duas derivadas parciais são contínuas. Pelo teorema padrão de cálculo em várias variáveis: se as derivadas parciais existem num vizinhoho e são contínuas em um ponto, então a função é diferenciável nesse ponto. Portanto f é diferenciável em (3,4).

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais no ponto (3,4) de forma numérica, mostrando as contas passo a passo.
Primeiro, o valor de f em (3,4):
f(3,4)=3^{2}\cdot 4-\sqrt{3^{2}+4^{2}}=9\cdot4-\sqrt{9+16}=36-5=31.
Agora \partial f/\partial x em (3,4):
\frac{\partial f}{\partial x}(3,4)=2\cdot 3\cdot 4-\frac{3}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=24-\frac{3}{5}.
Fazendo a conta em fração:
24-\frac{3}{5}=\frac{120-3}{5}=\frac{117}{5}=23{,}4.
E \partial f/\partial y em (3,4):
\frac{\partial f}{\partial y}(3,4)=3^{2}-\frac{4}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=9-\frac{4}{5}.
Em fração:
9-\frac{4}{5}=\frac{45-4}{5}=\frac{41}{5}=8{,}2.
Portanto o gradiente em (3,4) é
\nabla f(3,4)=\left(\frac{117}{5},\frac{41}{5}\right).

Passo 4

Construção da linearização (plano tangente). A linearização de f em torno de (x_{0},y_{0})=(3,4) é a aproximação afim
L(x,y)=f(3,4)+\frac{\partial f}{\partial x}(3,4)\, (x-3)+\frac{\partial f}{\partial y}(3,4)\, (y-4).
Substituindo os valores que calculamos:
L(x,y)=31+\frac{117}{5}\,(x-3)+\frac{41}{5}\,(y-4).
Explicando rápido: esse L é a equação do plano tangente à superfície z=f(x,y) no ponto (3,4,31). Na prova, quando pedem “linearização”, é isso mesmo: approximar pela expressão linear em (x-3) e (y-4).

Passo 5

Usar L para aproximar f(3{,}01;3{,}98).
Calcule as diferenças:
\Delta x=3{,}01-3=0{,}01,\qquad \Delta y=3{,}98-4=-0{,}02.
Agora aplique L:
L(3{,}01,3{,}98)=31+\frac{117}{5}\cdot 0{,}01+\frac{41}{5}\cdot(-0{,}02).
Façamos as multiplicações passo a passo:
\frac{117}{5}\cdot 0{,}01=\left(\frac{117}{5}\right)\cdot \frac{1}{100}=\frac{117}{500}=0{,}234,
\frac{41}{5}\cdot(-0{,}02)=\left(\frac{41}{5}\right)\cdot\left(-\frac{2}{100}\right)=-\frac{82}{500}=-0{,}164.
Somando:
L(3{,}01,3{,}98)=31+0{,}234-0{,}164=31+0{,}070=31{,}07.
Interpretação final curta: pela linearização, a aproximação de f(3{,}01;3{,}98) é 31{,}07. (O erro da aproximação é pequeno porque (\Delta x,\Delta y) é pequeno; se quisesse, poderíamos estimar o erro usando derivadas de segunda ordem, mas não foi pedido.)

Resposta

f(3{,}01;3{,}98)\approx 31{,}07

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