Prove que
\iiint_{V} \frac{d V}{r^{2}}=\iint_{s} \frac{\vec{r} \cdot \hat{n}}{r^{2}} d s

Passo 1

O que o enunciado pede: provar a identidade
\iiint_{V}\frac{dV}{r^{2}}=\iint_{S}\frac{\vec{r}\cdot\hat{n}}{r^{2}}\,dS.
Informações que temos (explicitadas para não deixar dúvida):
  • V é um volume tridimensional limitado por uma superfície fechada S.
  • \vec{r} é o vetor posição relativo à origem, isto é, em coordenadas cartesianas \vec{r}=(x,y,z).
  • r é o módulo de \vec{r}, ou seja r=|\vec{r}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
  • \hat{n} é o versor normal unitário à superfície S, tomado como a normal exterior ao volume V.
  • O objetivo é mostrar que o triplo integral do escalar 1/r^{2} sobre V é igual ao fluxo do campo \vec{r}/r^{2} através de S.

Passo 2

Ideia-chave (sem ainda aplicar nada): considere o campo vetorial
\vec{F}(\vec{r})=\frac{\vec{r}}{r^{2}}.
Vou usar a relação entre divergência e fluxo: o Teorema da Divergência (ou de Gauss) diz que, quando \vec{F} é suficientemente regular em V,
\iiint_{V}\nabla\cdot\vec{F}\,dV=\iint_{S}\vec{F}\cdot\hat{n}\,dS.
Portanto, se eu mostrar que \nabla\cdot\vec{F}=\dfrac{1}{r^{2}} (em toda a região onde \vec{F} é regular), então a identidade do enunciado seguirá aplicando o teorema acima.

Passo 3

Cálculo explícito da divergência de \vec{F}. Escrevemos r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2} e
\vec{F}=\left(\frac{x}{r^{2}},\frac{y}{r^{2}},\frac{z}{r^{2}}\right).
Usamos a regra do produto/derivada parcial em cada componente.
Calculemos a primeira parcela:
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{x}{r^{2}}\right) = \frac{\partial}{\partial x}\!\left(x\,(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-1}\right).
Pela regra do produto,
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{x}{r^{2}}\right) = (x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-1} + x\cdot\frac{\partial}{\partial x}\!\big((x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-1}\big).
E
\frac{\partial}{\partial x}\!\big((x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-1}\big) = -1\cdot (x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-2}\cdot 2x = -2x\,r^{-4}.
Logo
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{x}{r^{2}}\right)=r^{-2}-2x^{2}r^{-4}.
Analogamente, pelas mesmas contas para y e z,
\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{y}{r^{2}}\right)=r^{-2}-2y^{2}r^{-4}, \qquad \frac{\partial}{\partial z}\!\left(\frac{z}{r^{2}}\right)=r^{-2}-2z^{2}r^{-4}.
Somando as três derivadas obtemos a divergência:
\nabla\cdot\vec{F} = \left(r^{-2}-2x^{2}r^{-4}\right)+\left(r^{-2}-2y^{2}r^{-4}\right)+\left(r^{-2}-2z^{2}r^{-4}\right).
Agrupando termos,
\nabla\cdot\vec{F}=3r^{-2}-2(x^{2}+y^{2}+z^{2})r^{-4} =3r^{-2}-2r^{2}r^{-4}=3r^{-2}-2r^{-2}=r^{-2}.
Portanto, para \vec{r}\neq \vec{0} (ou seja, r\neq 0),
\nabla\cdot\vec{F}=\frac{1}{r^{2}}.

Passo 4

Aplicação direta do Teorema da Divergência quando a origem não pertence a V.
Se 0\notin V, então \vec{F} é C^{1} em V e no fecho de V, logo podemos aplicar o Teorema da Divergência:
\iiint_{V}\frac{dV}{r^{2}}=\iiint_{V}\nabla\cdot\vec{F}\,dV=\iint_{S}\vec{F}\cdot\hat{n}\,dS =\iint_{S}\frac{\vec{r}\cdot\hat{n}}{r^{2}}\,dS,
que é exatamente a identidade desejada.

Passo 5

Tratamento do caso em que a origem está dentro de V (singularidade no interior).
Se 0\in V então \vec{F} não é definida em \vec{0}, logo não podemos aplicar diretamente o Teorema da Divergência ao volume todo. A estratégia padrão é excluir uma bola pequena de raio \varepsilon centrada na origem, aplicar o teorema ao volume V_{\varepsilon}=V\setminus B_{\varepsilon}(0) e depois levar \varepsilon\to 0.
Pelo Teorema da Divergência em V_{\varepsilon},
\iiint_{V_{\varepsilon}}\nabla\cdot\vec{F}\,dV =\iint_{S}\vec{F}\cdot\hat{n}\,dS+\iint_{S_{\varepsilon}}\vec{F}\cdot\hat{n}_{\varepsilon}\,dS,
onde S_{\varepsilon} é a esfera de raio \varepsilon e \hat{n}_{\varepsilon} é sua normal exterior em relação a V_{\varepsilon}. Observação importante: a normal exterior a V_{\varepsilon} na pequena esfera aponta para dentro da bola (isto é, no sentido radial em direção ao centro); esse detalhe de orientação só altera sinal, mas vamos ver que o termo tende a zero.
Avaliação do fluxo sobre a pequena esfera: na esfera r=\varepsilon, o vetor posição vale \vec{r}=\varepsilon\hat{e}_{r}, então
\vec{F}(\vec{r})=\frac{\vec{r}}{r^{2}}=\frac{\varepsilon\hat{e}_{r}}{\varepsilon^{2}}=\frac{\hat{e}_{r}}{\varepsilon}.
O produto escalar com a normal (módulo) é \vec{F}\cdot\hat{n}_{\varepsilon}=\pm\dfrac{1}{\varepsilon} (sinal dependendo da orientação), e a área da esfera é 4\pi\varepsilon^{2}. Logo o módulo do fluxo pela esfera é
\left|\iint_{S_{\varepsilon}}\vec{F}\cdot\hat{n}_{\varepsilon}\,dS\right| =\frac{1}{\varepsilon}\cdot 4\pi\varepsilon^{2}=4\pi\varepsilon.
Ao fazer \varepsilon\to 0 esse termo tende a zero. Portanto, tomando limite em \varepsilon\to 0 obtemos
\iiint_{V}\nabla\cdot\vec{F}\,dV=\iint_{S}\vec{F}\cdot\hat{n}\,dS,
ou seja,
\iiint_{V}\frac{dV}{r^{2}}=\iint_{S}\frac{\vec{r}\cdot\hat{n}}{r^{2}}\,dS,
mesmo quando a origem está dentro de V.

Passo 6

Conclusão e observações finais curtas:
  • Calculamos explicitamente \nabla\cdot\!\left(\dfrac{\vec{r}}{r^{2}}\right)=\dfrac{1}{r^{2}} para r\neq 0.
  • Aplicando o Teorema da Divergência (diretamente, se 0\notin V; por limite removendo uma bola pequena, se 0\in V) obtemos exatamente a igualdade pedida.
  • Portanto a identidade é provada sob as hipóteses usuais de regularidade da superfície S (fechada, suave) e do volume V.

Resposta

\iiint_{V}\frac{dV}{r^{2}}=\iint_{S}\frac{\vec{r}\cdot\hat{n}}{r^{2}}\,dS.

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