Portanto, se eu mostrar que \nabla\cdot\vec{F}=\dfrac{1}{r^{2}} (em toda a região onde \vec{F} é regular), então a identidade do enunciado seguirá aplicando o teorema acima.
Passo 3
Cálculo explícito da divergência de \vec{F}. Escrevemos r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2} e
Tratamento do caso em que a origem está dentro de V (singularidade no interior).
Se 0\in V então \vec{F} não é definida em \vec{0}, logo não podemos aplicar diretamente o Teorema da Divergência ao volume todo. A estratégia padrão é excluir uma bola pequena de raio \varepsilon centrada na origem, aplicar o teorema ao volume V_{\varepsilon}=V\setminus B_{\varepsilon}(0) e depois levar \varepsilon\to 0.
onde S_{\varepsilon} é a esfera de raio \varepsilon e \hat{n}_{\varepsilon} é sua normal exterior em relação a V_{\varepsilon}. Observação importante: a normal exterior a V_{\varepsilon} na pequena esfera aponta para dentro da bola (isto é, no sentido radial em direção ao centro); esse detalhe de orientação só altera sinal, mas vamos ver que o termo tende a zero.
Avaliação do fluxo sobre a pequena esfera: na esfera r=\varepsilon, o vetor posição vale \vec{r}=\varepsilon\hat{e}_{r}, então
O produto escalar com a normal (módulo) é \vec{F}\cdot\hat{n}_{\varepsilon}=\pm\dfrac{1}{\varepsilon} (sinal dependendo da orientação), e a área da esfera é 4\pi\varepsilon^{2}. Logo o módulo do fluxo pela esfera é
Calculamos explicitamente \nabla\cdot\!\left(\dfrac{\vec{r}}{r^{2}}\right)=\dfrac{1}{r^{2}} para r\neq 0.
Aplicando o Teorema da Divergência (diretamente, se 0\notin V; por limite removendo uma bola pequena, se 0\in V) obtemos exatamente a igualdade pedida.
Portanto a identidade é provada sob as hipóteses usuais de regularidade da superfície S (fechada, suave) e do volume V.