Calcule a massa de x^{2}+y^{2} \leqslant 1 para 0 \leqslant z \leqslant 1 e a densidade =f(x, y, z)=y^{2}

Passo 1

O enunciado pede a massa do sólido
R=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}\le1,\;0\le z\le1\}
com densidade \rho(x,y,z)=y^{2}.
Para calcular a massa m usamos a integral tripla
m=\iiint_{R}y^{2}\,dV.

Passo 2

Para explorar a simetria circular, mudamos para coordenadas cilíndricas:
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z.
Nesse sistema a densidade fica
\rho = y^{2} = (r\sin\theta)^{2} = r^{2}\sin^{2}\theta
e o elemento de volume é
dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
Os limites são
0\le r\le1,\quad 0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le z\le1.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
m = \int_{z=0}^{1}\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1} \bigl(r^{2}\sin^{2}\theta\bigr)\,r\,dr\,d\theta\,dz = \int_{0}^{1}dz\;\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta\;\int_{0}^{1}r^{3}\,dr.

Passo 4

Agora calculamos cada uma das integrais:
\int_{0}^{1}dz = 1,\qquad \int_{0}^{1}r^{3}\,dr = \frac{1}{4},\qquad \int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta = \pi.

Passo 5

Multiplicando os resultados,
m = 1 \times \pi \times \frac{1}{4} = \frac{\pi}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{4}

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