Calcule a massa do sólido limitado por z=1-x^{2}-y^{2} e a densidade f(x, y, z)=x^{3}+x y^{2}

Passo 1

O enunciado pede a massa de um sólido de densidade f(x,y,z)=x^{3}+xy^{2} limitado pela superfície
z = 1 - x^{2} - y^{2}
e pelo plano z=0.
O conteúdo é cálculo de massa via integral tripla e uso de simetria (ou coordenadas polares).

Passo 2

A massa é dada por
M = \iiint_{R} \bigl(x^{3}+xy^{2}\bigr)\,dV
onde
R = \{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}\le1,\;0\le z\le1 - x^{2}-y^{2}\}.

Passo 3

Projetando em xy, integraremos primeiro em z:
M = \iint_{D}\!\Bigl(x^{3}+xy^{2}\Bigr)\Bigl[\int_{0}^{\,1 - x^{2}-y^{2}}dz\Bigr]\,dA =\iint_{D}\bigl(x^{3}+xy^{2}\bigr)\bigl(1 - x^{2}-y^{2}\bigr)\,dA,
onde D é o disco x^{2}+y^{2}\le1.

Passo 4

No integrando temos
x^{3}+xy^{2} \;=\; x\,(x^{2}+y^{2}),
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(x^{3}+xy^{2})(1 - x^{2}-y^{2}) = x\,(x^{2}+y^{2})\,(1 - x^{2}-y^{2}).
Essa função é ímpar em x enquanto D é simétrico em torno do eixo y. Pelo princípio da simetria,
\iint_{D}x\,(x^{2}+y^{2})\,(1 - x^{2}-y^{2})\,dA = 0.

Resposta

A massa do sólido é 0.

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