Calcule a impedância ZAB de um circuito RLC série, onde \mathrm{R}=1 \Omega, \mathrm{L}=1 \mathrm{H} e \mathrm{C}=1 \mathrm{~F}, à freqüência (f) ,159 \mathrm{~Hz}.

Passo 1

O que o exercício pede: Calcular a impedância entre A e B do circuito RLC série para a frequência dada.
Dados fornecidos:
R=1\\ \Omega,\quad L=1\\ \mathrm{H},\quad C=1\\ \mathrm{F},\quad f=0,159\\ \mathrm{Hz}.

Passo 2

O que é impedância e qual fórmula usar: Em um circuito série RLC a impedância total Z é a soma da resistência e das reatâncias (as reatâncias aparecem com termo imaginário). A expressão geral é
Z = R + j\bigl(X_L - X_C\bigr),
onde j é a unidade imaginária (usada em elétrica), X_L é a reatância indutiva e X_C é a reatância capacitiva. Explico cada termo:
  • \;R: resistência ôhmica (unidade \Omega). Aqui R=1\\ \Omega.
  • \;X_L: reatância do indutor dada por \;X_L=\omega L, em que \omega é a pulsação (rad/s) e L é a indutância (H). Unidade: \Omega.
  • \;X_C: reatância do capacitor dada por \;X_C=\dfrac{1}{\omega C}, em que C é a capacitância (F). Unidade: \Omega.
  • \;\omega é dada por \omega=2\pi f. Vou calcular \omega no próximo passo.

Passo 3

Calcular a pulsação \omega:
\omega = 2\pi f = 2\pi\cdot 0,159.
Agora faço a multiplicação aproximada:
\omega \approx 6,283185307\cdot 0,159 \approx 0,99903\\ \text{rad/s}.
(Arredondei para cinco casas significativas para facilitar os cálculos de mão.)

Passo 4

Calcular a reatância indutiva \;X_L:
X_L = \omega L = 0,99903\cdot 1 = 0,99903\\ \Omega.
Calcular a reatância capacitiva \;X_C:
X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{0,99903\cdot 1} \approx 1,00097\\ \Omega.
Explanação rápida: como L e C valem 1 nas suas unidades, as reatâncias ficam simples: uma é \omega e a outra é 1/\omega.

Passo 5

Calcular a reatância equivalente (sinal: indutiva menos capacitiva):
X = X_L - X_C = 0,99903 - 1,00097 = -0,00194\\ \Omega.
Interpretação: o sinal negativo indica que, nessa frequência, o circuito está ligeiramente dominado pela reatância capacitiva (comportamento capacitivo).

Passo 6

Montar a impedância complexa Z (forma retangular):
Z = R + jX = 1 + j(-0,00194) = 1 - j0,00194\\ \Omega.
Opcional — módulo e ângulo (para entender a magnitude e a defasagem):
|Z| = \sqrt{1^2 + (-0,00194)^2} \approx 1,00000\\ \Omega,
\varphi = \arctan\!\left(\frac{X}{R}\right) = \arctan\!\left(\frac{-0,00194}{1}\right) \approx -0,111^\circ.
Ou seja, a impedância tem magnitude praticamente 1\\ \Omega e uma defasagem muito pequena negativa (ligeiramente capacitiva).

Resposta

Z_{AB}=1 - j0,00194\\ \Omega

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