Qual é a relação de fase entre as formas de onda senoidais em cada um dos seguintes pares?
i=2 \cos \left(\omega t+10^{\circ}\right)
v=3 \operatorname{sen}\left(\omega t-10^{\circ}\right)

Passo 1

O enunciado dá duas formas de onda senoidais e pede a relação de fase entre elas. Informações fornecidas:
i = 2\cos\!\left(\omega t + 10^\circ\right)
v = 3\operatorname{sen}\!\left(\omega t - 10^\circ\right)
Pergunta: qual é a diferença de fase entre v e i — ou seja, quem está adiantado (lead) e quem está atrasado (lag), e por quantos graus?

Passo 2

Vamos lembrar uma identidade trigonométrica útil para comparar fases: podemos transformar senos em cossenos (ou vice‑versa) porque isso apenas adiciona/subtrai 90^\circ de fase. A identidade é
\operatorname{sen}(\theta) = \cos(\theta - 90^\circ).
Prova curta (só para fixar): \cos(\theta-90^\circ)=\cos\theta\cos90^\circ+\sin\theta\sin90^\circ=0+\sin\theta=\sin\theta. Então a identidade vale.

Passo 3

Usando a identidade do passo anterior, converto v (que está em seno) para uma forma em cosseno, para ficar com ambas as ondas na mesma família ( \cos) e poder comparar as fases diretamente:
v = 3\operatorname{sen}\!\left(\omega t - 10^\circ\right) = 3\cos\!\big((\omega t - 10^\circ) - 90^\circ\big) = 3\cos\!\left(\omega t - 100^\circ\right).
Aqui fiz a operação -10^\circ - 90^\circ = -100^\circ.

Passo 4

Agora escrevo as duas ondas em forma de cosseno, destacando suas fases (a parte que soma a \omega t):
i = 2\cos\!\left(\omega t + 10^\circ\right)\quad\Rightarrow\quad \text{fase de }i = +10^\circ,
v = 3\cos\!\left(\omega t - 100^\circ\right)\quad\Rightarrow\quad \text{fase de }v = -100^\circ.

Passo 5

Definição prática de diferença de fase: calcular \Delta\varphi = \phi_v - \phi_i. Se \Delta\varphi>0, v está adiantado em relação a i; se \Delta\varphi<0, v está atrasado (lags) em relação a i.
Calculo:
\Delta\varphi = (-100^\circ) - (+10^\circ) = -110^\circ.
O sinal negativo indica que v atrasa i em 110^\circ. Equivalentemente, i adianta v em 110^\circ.

Passo 6

Comentário físico rápido e encorajador: o fato de as amplitudes serem diferentes ( 2 e 3) não altera a relação de fase — a fase depende só dos termos angulares. Se quiser transformar essa diferença de fase em atraso em tempo, use \Delta t = \Delta\varphi/\omega com \Delta\varphi em radianos, mas para a prova normalmente a resposta em graus é suficiente.

Resposta

v atrasa i em 110^\circ (ou seja, i adianta v em 110^\circ).

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