Um circuito RLC paralelo, alimentado com tensão de 10 V , tem os seguintes parâmetros: \mathrm{G}=1 \mathrm{mS}, \mathrm{BL} =5 \mathrm{mS}, \mathrm{BC}=2 \mathrm{mS}. Pede-se: a ) fazer os diagramas fasoriais; b ) calcular a corrente em cada componente; c) explicar por que a soma algébrica das correntes nos componentes é diferente da corrente total. d) calcular a admitância do circuito.

Passo 1

O enunciado dá um circuito paralelo RLC alimentado por uma tensão de 10\\ \text{V}. São fornecidos os parâmetros:
G=1\\ \mathrm{mS},\qquad B_L=5\\ \mathrm{mS},\qquad B_C=2\\ \mathrm{mS}.
O que o enunciado pede:
a) fazer os diagramas fasoriais;
b) calcular a corrente em cada componente (resistor, indutor, capacitor);
c) explicar por que a soma algébrica (ou soma de magnitudes) das correntes nos componentes é diferente da corrente total;
d) calcular a admitância do circuito.
Todas as informações relevantes estão acima: tensão de alimentação 10\\ \text{V} (tomaremos como fasor de referência \;V=10\angle 0^\circ\;\text{V}) e as condutâncias/susceptâncias em \mathrm{mS}.

Passo 2

Conceitos e fórmulas úteis (explicadinho, sem pular etapas):
  • Em regime senoidal com representação fasorial, a tensão aplicada será tomada como fasor de referência
V=10\angle 0^\circ\\ \text{V}.
  • Admitância de cada ramo: é a razão entre corrente e tensão no ramo,
Y=\frac{I}{V}.
  • Para um resistor puro: a admitância é puramente real e igual à condutância G. Ou seja,
Y_R = G.
Aqui G é a condutância em si (unidade Siemens, \mathrm{S}). G=1\\ \mathrm{mS}=1\times10^{-3}\\ \mathrm{S}.
  • Para um capacitor: a admitância é imaginária positiva e igual a jB_C. O fator j significa um avanço de +90^\circ entre corrente e tensão (a corrente do capacitor antecipa a tensão):
Y_C = jB_C.
  • Para um indutor: a admitância é imaginária negativa e igual a -jB_L. O fator -j significa defasagem de 90^\circ (a corrente do indutor atrasa 90^\circ em relação à tensão):
Y_L = -jB_L.
  • Corrente de cada ramo: multiplica-se a admitância pela tensão (phasor):
I_k = Y_k \, V.
  • Admitância total do circuito paralelo é soma das admitâncias dos ramos:
Y_\text{eq} = Y_R + Y_L + Y_C.
  • Corrente total (fasor) também é
I_\text{tot} = Y_\text{eq}\, V.
Observação didática: quando tivermos fatores j e -j, isso implica ângulos \pm 90^\circ. Para passar de forma complexa (parte real + j parte imaginária) para magnitude e ângulo usamos hipotenusa e arco-tangente.

Passo 3

Calcular as admitâncias dos ramos numericamente (transformando \mathrm{mS} em \mathrm{S}):
Y_R = G = 1\\ \mathrm{mS} = 1\times10^{-3}\\ \mathrm{S}.
Y_L = -jB_L = -j\,5\\ \mathrm{mS} = -j\,5\times10^{-3}\\ \mathrm{S}.
Y_C = jB_C = j\,2\\ \mathrm{mS} = j\,2\times10^{-3}\\ \mathrm{S}.

Passo 4

Calcular as correntes de cada componente usando I_k = Y_k V com V=10\angle 0^\circ\\ \text{V}.
Para o resistor:
I_R = Y_R V = \bigl(1\times10^{-3}\bigr)\cdot 10\angle 0^\circ = 10\times10^{-3}\\ \text{A} = 10\\ \mathrm{mA}\angle 0^\circ.
Explicação: como Y_R é real, a corrente está em fase com a tensão (ângulo 0^\circ).
Para o indutor:
I_L = Y_L V = \bigl(-j\,5\times10^{-3}\bigr)\cdot 10\angle 0^\circ = -j\,50\times10^{-3}\\ \text{A}.
Escrevendo em forma de magnitude e ângulo: -j é equivalente a ângulo -90^\circ, logo
I_L = 50\\ \mathrm{mA}\angle -90^\circ.
Para o capacitor:
I_C = Y_C V = \bigl(j\,2\times10^{-3}\bigr)\cdot 10\angle 0^\circ = j\,20\times10^{-3}\\ \text{A}.
Em magnitude e ângulo: j equivale a +90^\circ, então
I_C = 20\\ \mathrm{mA}\angle +90^\circ.
Resumo numérico das correntes por ramo (valores fáceis de memorizar):
I_R = 10\\ \mathrm{mA}\angle 0^\circ,\qquad I_C = 20\\ \mathrm{mA}\angle +90^\circ,\qquad I_L = 50\\ \mathrm{mA}\angle -90^\circ.

Passo 5

Construindo (mentalmente) o diagrama fasorial:
  • Escolha a tensão V como eixo horizontal para a direita (referência, \;V=10\angle 0^\circ\;).
  • I_R está sobre esse eixo para a direita com comprimento proporcional a 10\\ \mathrm{mA}.
  • I_C aponta para cima ( eixo imag positivo ) com comprimento proporcional a 20\\ \mathrm{mA} porque é +90^\circ.
  • I_L aponta para baixo ( eixo imag negativo ) com comprimento proporcional a 50\\ \mathrm{mA} porque é -90^\circ.
    Esse é exatamente o diagrama fasorial pedido: tensão horizontal, correntes do capacitor para cima, do indutor para baixo, do resistor na horizontal.

Passo 6

Calcular a corrente total somando as componentes como números complexos (soma fasorial, não soma de magnitudes).
Somando as partes real e imaginária:
I_\text{tot} = I_R + I_C + I_L.
Convertendo para forma retangular (em ampères):
I_R = 10\times10^{-3} + j0,
I_C = 0 + j\,20\times10^{-3},
I_L = 0 - j\,50\times10^{-3}.
Somando:
I_\text{tot} = 10\times10^{-3} + j\bigl(20\times10^{-3}-50\times10^{-3}\bigr) = 10\times10^{-3} - j\,30\times10^{-3}\\ \text{A}.
Ou seja,
I_\text{tot}= (10 - j30)\\ \mathrm{mA}.
Agora magnitude e ângulo:
  • magnitude
|I_\text{tot}| = \sqrt{10^2 + 30^2}\\ \mathrm{mA} = \sqrt{100+900}\\ \mathrm{mA} = \sqrt{1000}\\ \mathrm{mA}\approx 31{,}62\\ \mathrm{mA}.
  • ângulo
\theta = \arctan\!\left(\frac{-30}{10}\right) = \arctan(-3)\approx -71{,}565^\circ \quad(\text{aprox }-71{,}6^\circ).
Portanto em forma fasorial:
I_\text{tot}\approx 31{,}62\\ \mathrm{mA}\angle -71{,}6^\circ.
Observação prática: se alguém soma só as magnitudes (10+20+50=80\\ \mathrm{mA}) obtém um número bem diferente — por isso é importante somar vetorialmente (phasors).

Passo 7

Calcular a admitância do circuito Y_\text{eq}. Podemos fazer de duas maneiras equivalentes:
  1. Somando admitâncias dos ramos (mais direto aqui):
Y_\text{eq}=Y_R+Y_L+Y_C = 1\times10^{-3} - j5\times10^{-3} + j2\times10^{-3} = 1\times10^{-3} - j3\times10^{-3}\\ \mathrm{S}.
Em notação prática:
Y_\text{eq} = (1 - j3)\\ \mathrm{mS}.
  1. Ou dividindo a corrente total pela tensão:
Y_\text{eq} = \frac{I_\text{tot}}{V} = \frac{10\times10^{-3} - j30\times10^{-3}}{10} = 1\times10^{-3} - j3\times10^{-3}\\ \mathrm{S},
mesmo resultado — boa checagem.
Magnitude e ângulo da admitância:
|Y_\text{eq}| = \sqrt{1^2 + 3^2}\\ \mathrm{mS} = \sqrt{10}\\ \mathrm{mS}\approx 3{,}1623\\ \mathrm{mS},
ângulo
\angle Y_\text{eq} = \arctan\!\left(\frac{-3}{1}\right)=\arctan(-3)\approx -71{,}565^\circ.
Note que o ângulo de Y_\text{eq} é igual ao ângulo de I_\text{tot} porque V foi referência \angle 0^\circ.

Passo 8

Explicação didática e amigável para o item (c) — por que a soma “algébrica” (no sentido de somar magnitudes sem considerar fase) das correntes nos componentes é diferente da corrente total:
  • Cada corrente de ramo é um número complexo (um fasor) com magnitude e ângulo. A regra física correta (KCL em regime fasorial) diz que a corrente total é a soma vetorial (fasorial) das correntes dos ramos, ou seja, você soma as partes real e imaginária, não soma simplesmente as magnitudes.
  • Somar as magnitudes seria o mesmo que ignorar os ângulos; isso dá um valor numérico errado porque correntes reativas estão defasadas entre si e podem se cancelar parcialmente (por exemplo, I_C e I_L têm sinais opostos no eixo imaginário). No nosso caso I_C (20 mA para cima) e I_L (50 mA para baixo) se opõem e geram uma resultante imaginária de -30\\ \mathrm{mA}.
  • Intuição rápida: pense em forças vetoriais — se uma puxar pra cima 50 e outra pra baixo 20, o resultado não é 70, é 30 pra baixo. Mesma ideia com correntes fazoriais.
  • Conclusão: a soma algébrica correta é a soma complexa (phasor); se alguém somar só os números absolutos, obtém 80 mA, que não é a corrente total real do circuito. Portanto a “diferença” que o enunciado aponta é simplesmente a diferença entre soma escalar de magnitudes e soma vetorial (fasorial) correta.

Resposta

a) Diagrama fasorial: tensão V=10\angle 0^\circ\\ \text{V} para a direita; I_R=10\\ \mathrm{mA}\angle 0^\circ sobre o eixo horizontal; I_C=20\\ \mathrm{mA}\angle +90^\circ apontando para cima; I_L=50\\ \mathrm{mA}\angle -90^\circ apontando para baixo.
b) Correntes em cada componente:
I_R = 10\\ \mathrm{mA}\angle 0^\circ,\qquad I_C = 20\\ \mathrm{mA}\angle +90^\circ,\qquad I_L = 50\\ \mathrm{mA}\angle -90^\circ.
c) Porque as correntes são fasores (números complexos) — a corrente total é a soma vetorial (soma das partes real e imaginária). Somar só magnitudes ignora fases e produz resultado errado; correntes reativas podem se cancelar parcialmente (aqui I_C e I_L têm sinais opostos no eixo imaginário).
d) Admitância do circuito:
Y_\text{eq}=1\\ \mathrm{mS}-j3\\ \mathrm{mS} \quad\text{(ou)}\quad |Y_\text{eq}|\approx 3{,}1623\\ \mathrm{mS}\angle -71{,}6^\circ.
Corrente total (para referência, relacionada à admitância):
I_\text{tot}=(10 - j30)\ \mathrm{mA}\approx 31{,}62\ \mathrm{mA}\angle -71{,}6^\circ.

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