Calcule a inclinação da reta tangente para a curva polar r=1+2 cos theta no ponto theta=pi3 e mostre qual a equação dessa reta tangente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos a inclinação da reta tangente à curva polar $ r = 1 + 2 \cos \theta $ no ponto onde $ \theta = \frac{\pi}{3} $. Depois, precisamos encontrar a equação dessa reta tangente. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial aplicados a coordenadas polares e transformar essas coordenadas em cartesianas para facilitar o cálculo da inclinação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como converter as coordenadas polares para cartesianas. As fórmulas são:
x = r cos theta
y = r sin theta
Onde $ r $ é a distância do ponto à origem e $ \theta $ é o ângulo em relação ao eixo positivo x.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de $ x $ e $ y $ em relação a $ \theta $. Isso porque a inclinação da reta tangente, que é $ \frac{dy}{dx} $, pode ser encontrada usando:
x
Vamos calcular $ \frac{dx}{d\theta} $ e $ \frac{dy}{d\theta} $.

Passo 4

Primeiro, calculemos $ \frac{dx}{d\theta} $:
dxdtheta
Derivando em relação a $ \theta $:
x = r cos theta = (1 + 2 cos theta) cos theta
Simplificando:
theta

Passo 5

Agora, vamos calcular $ \frac{dy}{d\theta} $:
dydtheta
Derivando em relação a $ \theta $:
y = r sin theta = (1 + 2 cos theta) sin theta
Simplificando:
theta

Passo 6

Agora, vamos calcular a inclinação $ \frac{dy}{dx} $ usando as derivadas que encontramos:
dydx
Vamos simplificar essa expressão substituindo $ \theta = \frac{\pi}{3} $.

Passo 7

Primeiro, calculamos os valores de $ \sin \frac{\pi}{3} $ e $ \cos \frac{\pi}{3} $:
sin pi3
cos pi3
Substituindo na expressão da inclinação:
sin pi3 = raiz32
Calculando passo a passo:
cos pi3 = 12
Simplificando:
dydx = -2 ( raiz32 )^2 + 12 + 2 ( 12 )^2- raiz32 - 2 ( raiz32 )^2
Multiplicando numerador e denominador por $ \sqrt{3} - 3 $ para racionalizar:
dydx = -2 ( 34 ) + 12 + 2 ( 14 )- raiz32 - 2 ( 34 ) = -32 + 12 + 12- raiz32 - 32

Passo 8

Agora que temos a inclinação da reta tangente, vamos encontrar a coordenada cartesianas do ponto onde $ \theta = \frac{\pi}{3} $. Usando as fórmulas de conversão:
theta = pi3
x = r cos theta = (1 + 2 cos theta) cos theta = (1 + 2 times 12) times 12 = (1 + 1) times 12 = 1
Então, o ponto é $ (1, \sqrt{3}) $.

Passo 9

Agora, podemos usar a fórmula da reta tangente que passa pelo ponto $ (x_0, y_0) $ com inclinação $ m $:
(x0, y0)
Substituindo $ m = \frac{3 - \sqrt{3}}{6} $, $ x_0 = 1 $ e $ y_0 = \sqrt{3} $:
m
Multiplicando ambos os lados por 6 para simplificar:
y - y0 = m (x - x0)
Distribuindo:
m = 3 - raiz36
Rearranjando os termos:
x0 = 1
Simplificando:
y0 = raiz3
Finalmente, isolando $ y $:
y - raiz3 = 3 - raiz36 (x - 1)

Resposta

A inclinação da reta tangente é $ m = \frac{3 - \sqrt{3}}{6} $ e a equação da reta tangente é:
m = 3 - raiz36

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