Calcule a inclinação da reta tangente para a curva polar
no ponto
e mostre qual a equação dessa reta tangente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos a inclinação da reta tangente à curva polar $ r = 1 + 2 \cos \theta $ no ponto onde $ \theta = \frac{\pi}{3} $. Depois, precisamos encontrar a equação dessa reta tangente. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial aplicados a coordenadas polares e transformar essas coordenadas em cartesianas para facilitar o cálculo da inclinação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como converter as coordenadas polares para cartesianas. As fórmulas são:
Onde $ r $ é a distância do ponto à origem e $ \theta $ é o ângulo em relação ao eixo positivo x.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas de $ x $ e $ y $ em relação a $ \theta $. Isso porque a inclinação da reta tangente, que é $ \frac{dy}{dx} $, pode ser encontrada usando:
Vamos calcular $ \frac{dx}{d\theta} $ e $ \frac{dy}{d\theta} $.
Passo 4
Primeiro, calculemos $ \frac{dx}{d\theta} $:
Derivando em relação a $ \theta $:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular $ \frac{dy}{d\theta} $:
Derivando em relação a $ \theta $:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos calcular a inclinação $ \frac{dy}{dx} $ usando as derivadas que encontramos:
Vamos simplificar essa expressão substituindo $ \theta = \frac{\pi}{3} $.
Passo 7
Primeiro, calculamos os valores de $ \sin \frac{\pi}{3} $ e $ \cos \frac{\pi}{3} $:
Substituindo na expressão da inclinação:
Calculando passo a passo:
Simplificando:
Multiplicando numerador e denominador por $ \sqrt{3} - 3 $ para racionalizar:
Passo 8
Agora que temos a inclinação da reta tangente, vamos encontrar a coordenada cartesianas do ponto onde $ \theta = \frac{\pi}{3} $. Usando as fórmulas de conversão:
Então, o ponto é $ (1, \sqrt{3}) $.
Passo 9
Agora, podemos usar a fórmula da reta tangente que passa pelo ponto $ (x_0, y_0) $ com inclinação $ m $:
Substituindo $ m = \frac{3 - \sqrt{3}}{6} $, $ x_0 = 1 $ e $ y_0 = \sqrt{3} $:
Multiplicando ambos os lados por 6 para simplificar:
Distribuindo:
Rearranjando os termos:
Simplificando:
Finalmente, isolando $ y $:
Resposta
A inclinação da reta tangente é $ m = \frac{3 - \sqrt{3}}{6} $ e a equação da reta tangente é: