integral0^pi(5 e^x+3 sin x) d x=[5 e^x-3 cos x]0^pi=[5 e^pi-3(-1)]-[5(1)-3(1)]=5 e^pi+1

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral definida de 5e^x + 3sin x no intervalo de 0 a pi. O conteúdo envolvido é cálculo de integrais de funções exponenciais e trigonométricas, usando as regras básicas de integração: integral e^x dx = e^x e integral sin x,dx = -cos x.

Passo 2

Encontramos uma primitiva F(x) somando as primitivas de cada parcela. Para 5e^x vale integral 5e^x dx = 5e^x e para 3sin x vale integral 3sin x,dx = -3cos x. Assim, temos:
F(x) = 5e^x - 3cos x

Passo 3

Aplicamos o teorema fundamental do cálculo avaliando em x = pi e x = 0:
F(pi) = 5e^pi - 3cospi = 5e^pi - 3(-1) = 5e^pi + 3
F(0) = 5e^0 - 3cos 0 = 5cdot1 - 3cdot1 = 5 - 3 = 2

Passo 4

Calculamos a diferença F(pi) - F(0):
F(pi) - F(0) = (5e^pi + 3) - 2 = 5e^pi + 1

Resposta

5e^{\pi} + 1

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