Let u=t, d v=sinh m t d t Rightarrow d u=d t, v=1m cosh m t. Então, integral t sinh m t d t=1m t cosh m t-integral 1m cosh m t d t=1m t cosh m t-1m^2 sinh m t+C[m neq 0].

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular a integral integral t,sinh(mt),dt. Esse é um exercício de integração por partes, onde precisaremos escolher funções u e dv.

Passo 2

Escolher funções para a fórmula de integração por partes: definimos
u = t, dv = sinh(mt),dt
Então
du = dt, v = 1mcosh(mt),
pois conhecemos que a derivada de cosh(mt) é msinh(mt).

Passo 3

Aplicar a fórmula de integração por partes:
integral u,dv = u v - integral v,du
Substituindo as escolhas:
integral tsinh(mt),dt = tcdot1mcosh(mt) - integral 1mcosh(mt),dt

Passo 4

Calcular a integral remanescente:
integral cosh(mt),dt = 1msinh(mt) + C
Logo,
integral 1mcosh(mt),dt = 1m^2sinh(mt)

Passo 5

Juntar tudo e escrever a resposta geral adicionando a constante de integração C:
integral tsinh(mt),dt = 1mtcosh(mt) - 1m^2sinh(mt) + C,
válido para mneq0.

Resposta

1mtcosh(mt) - 1m^2sinh(mt) + C, mneq0

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