Determine onde a curva r=1+\sin \theta tem tangente horizontal (candidatos).
Passo 1
O enunciado dá a curva em coordenadas polares r=1+\sin\theta e pede onde ela tem tangente horizontal — ou seja, os valores de \theta (candidatos) em que a reta tangente à curva é horizontal.
Informações relevantes fornecidas:
A curva está em coordenadas polares e é dada por r(\theta)=1+\sin\theta.
Quer-se os valores de \theta tais que a tangente é horizontal (candidatos).
Passo 2
Primeiro vamos lembrar como transformar para coordenadas cartesianas e como obter a inclinação da tangente para curvas polares. As relações são
x = r(\theta)\cos\theta,\qquad y = r(\theta)\sin\theta.
Uma tangente é horizontal quando a derivada \dfrac{dy}{dx}=0, isto é, quando \dfrac{dy}{d\theta}=0 e simultaneamente \dfrac{dx}{d\theta}\neq0. (Se ambos derem zero temos indeterminação e precisamos analisar caso a caso.)
Passo 3
Agora aplicamos isso ao caso r(\theta)=1+\sin\theta. Calculamos primeiro
ou seja, tanto \dfrac{dy}{d\theta}=0 quanto \dfrac{dx}{d\theta}=0 em \theta=\dfrac{3\pi}{2}, há indeterminação e precisamos analisar esse caso separadamente.
Passo 5
Analisando o caso singular \theta=\dfrac{3\pi}{2}. Aqui r=1+\sin(3\pi/2)=1-1=0, ou seja a curva passa pelo polo (origem) e as primeiras derivadas em \theta anulam-se. Para decidir se há tangente horizontal, fazemos uma expansão em torno de \theta=3\pi/2. Seja \theta=3\pi/2+h com h pequeno. Aproximações úteis:
Logo a tangente no polo (em \theta=3\pi/2) é vertical (a inclinação explode), não horizontal. Concluímos que \theta=3\pi/2 não fornece tangente horizontal.
Passo 6
Agora tratemos a outra equação candidata 1+2\sin\theta=0, que dá
e, em geral, \theta=\dfrac{7\pi}{6}+2k\pi ou \theta=\dfrac{11\pi}{6}+2k\pi. Precisamos verificar \dfrac{dx}{d\theta}\neq0 nesses valores. Note que quando \sin\theta=-\tfrac{1}{2} temos \cos2\theta=1-2\sin^{2}\theta=1-2\cdot\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{2}. Então
Portanto ambos os \theta com \sin\theta=-\tfrac{1}{2} são válidos e correspondem a tangentes horizontais.
Opcional (para visualizar os pontos): nesses ângulos r=1+\sin\theta=1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}. Assim os pontos correspondentes em coordenadas cartesianas são