Determine onde a curva r=1+\sin \theta tem tangente horizontal (candidatos).

Passo 1

O enunciado dá a curva em coordenadas polares r=1+\sin\theta e pede onde ela tem tangente horizontal — ou seja, os valores de \theta (candidatos) em que a reta tangente à curva é horizontal.
Informações relevantes fornecidas:
  • A curva está em coordenadas polares e é dada por r(\theta)=1+\sin\theta.
  • Quer-se os valores de \theta tais que a tangente é horizontal (candidatos).

Passo 2

Primeiro vamos lembrar como transformar para coordenadas cartesianas e como obter a inclinação da tangente para curvas polares. As relações são
x = r(\theta)\cos\theta,\qquad y = r(\theta)\sin\theta.
Derivando em relação a \theta obtemos
\frac{dx}{d\theta} = \frac{dr}{d\theta}\cos\theta - r(\theta)\sin\theta, \qquad \frac{dy}{d\theta} = \frac{dr}{d\theta}\sin\theta + r(\theta)\cos\theta.
A inclinação da curva em coordenadas cartesianas é
\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{d\theta}}{\dfrac{dx}{d\theta}}.
Uma tangente é horizontal quando a derivada \dfrac{dy}{dx}=0, isto é, quando \dfrac{dy}{d\theta}=0 e simultaneamente \dfrac{dx}{d\theta}\neq0. (Se ambos derem zero temos indeterminação e precisamos analisar caso a caso.)

Passo 3

Agora aplicamos isso ao caso r(\theta)=1+\sin\theta. Calculamos primeiro
\frac{dr}{d\theta}=\cos\theta.
Substituindo em \dfrac{dy}{d\theta} temos
\frac{dy}{d\theta}=\cos\theta\sin\theta + (1+\sin\theta)\cos\theta.
Fatorando \cos\theta ficamos com
\frac{dy}{d\theta}=\cos\theta\bigl(\sin\theta + 1 + \sin\theta\bigr)=\cos\theta\bigl(1+2\sin\theta\bigr).
Para ter tangente horizontal precisamos \dfrac{dy}{d\theta}=0, logo
\cos\theta\bigl(1+2\sin\theta\bigr)=0.
Portanto as soluções candidatas vêm das duas equações
\cos\theta=0 \qquad\text{ou}\qquad 1+2\sin\theta=0.

Passo 4

Tratemos primeiro \cos\theta=0. Isso ocorre em
\theta=\frac{\pi}{2}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Agora precisamos verificar \dfrac{dx}{d\theta}\neq0 nesses \theta. A expressão geral para \dfrac{dx}{d\theta} é
\frac{dx}{d\theta}=\cos\theta\cos\theta - (1+\sin\theta)\sin\theta =\cos^{2}\theta - \sin\theta - \sin^{2}\theta.
Avaliando em \theta=\dfrac{\pi}{2} (onde \sin\theta=1,\cos\theta=0):
\left.\frac{dx}{d\theta}\right|_{\theta=\pi/2}=0^{2}-1-1=-2\neq0.
Logo \theta=\dfrac{\pi}{2} é realmente um ponto com tangente horizontal.
Avaliando em \theta=\dfrac{3\pi}{2} (onde \sin\theta=-1,\cos\theta=0):
\left.\frac{dx}{d\theta}\right|_{\theta=3\pi/2}=0-(-1)-1=0,
ou seja, tanto \dfrac{dy}{d\theta}=0 quanto \dfrac{dx}{d\theta}=0 em \theta=\dfrac{3\pi}{2}, há indeterminação e precisamos analisar esse caso separadamente.

Passo 5

Analisando o caso singular \theta=\dfrac{3\pi}{2}. Aqui r=1+\sin(3\pi/2)=1-1=0, ou seja a curva passa pelo polo (origem) e as primeiras derivadas em \theta anulam-se. Para decidir se há tangente horizontal, fazemos uma expansão em torno de \theta=3\pi/2. Seja \theta=3\pi/2+h com h pequeno. Aproximações úteis:
\cos\bigl(3\pi/2+h\bigr)=\sin h\approx h,\qquad \sin\bigl(3\pi/2+h\bigr)=-\cos h\approx -1+\tfrac{h^{2}}{2}.
Então
r(\theta)=1+\sin\theta\approx 1+\Bigl(-1+\tfrac{h^{2}}{2}\Bigr)=\tfrac{h^{2}}{2}.
As coordenadas cartesianas aproximam-se por
x=r\cos\theta\approx \tfrac{h^{2}}{2}\cdot h=\tfrac{h^{3}}{2},\qquad y=r\sin\theta\approx \tfrac{h^{2}}{2}\cdot\bigl(-1\bigr)=-\tfrac{h^{2}}{2}.
Derivando em relação a h,
\frac{dx}{dh}\approx \tfrac{3}{2}h^{2},\qquad \frac{dy}{dh}\approx -h.
Portanto a inclinação
\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dh}{dx/dh}\approx \frac{-h}{\tfrac{3}{2}h^{2}}=-\frac{2}{3h}\to\pm\infty\quad\text{quando }h\to0.
Logo a tangente no polo (em \theta=3\pi/2) é vertical (a inclinação explode), não horizontal. Concluímos que \theta=3\pi/2 não fornece tangente horizontal.

Passo 6

Agora tratemos a outra equação candidata 1+2\sin\theta=0, que dá
\sin\theta=-\tfrac{1}{2}.
As soluções (no intervalo 0\le\theta<2\pi) são
\theta=\frac{7\pi}{6}\quad\text{e}\quad \theta=\frac{11\pi}{6},
e, em geral, \theta=\dfrac{7\pi}{6}+2k\pi ou \theta=\dfrac{11\pi}{6}+2k\pi. Precisamos verificar \dfrac{dx}{d\theta}\neq0 nesses valores. Note que quando \sin\theta=-\tfrac{1}{2} temos \cos2\theta=1-2\sin^{2}\theta=1-2\cdot\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{2}. Então
\left.\frac{dx}{d\theta}\right|_{\sin\theta=-1/2}=\cos2\theta-\sin\theta=\tfrac{1}{2}-\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)=1\neq0.
Portanto ambos os \theta com \sin\theta=-\tfrac{1}{2} são válidos e correspondem a tangentes horizontais.
Opcional (para visualizar os pontos): nesses ângulos r=1+\sin\theta=1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}. Assim os pontos correspondentes em coordenadas cartesianas são
\theta=\frac{7\pi}{6}:\quad \bigl(x,y\bigr)=\Bigl(\!-\frac{\sqrt{3}}{4},-\frac{1}{4}\Bigr), \qquad \theta=\frac{11\pi}{6}:\quad \bigl(x,y\bigr)=\Bigl(\frac{\sqrt{3}}{4},-\frac{1}{4}\Bigr),
e para \theta=\dfrac{\pi}{2} temos r=2 e o ponto (0,2).

Resposta

\theta=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}\n
\theta=\dfrac{7\pi}{6}+2k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}\n
\theta=\dfrac{11\pi}{6}+2k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}

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