Calcule a indutância mútua entre uma espira quadrada de lado a e um fio retilíneo muito longo, coplanar à espira e paralelo a um dos seus lados, situado a uma distância b do lado mais próximo da espira.

Passo 1

O enunciado pede a indutância mútua entre uma espira quadrada de lado a e um fio reto infinito, ambos coplanares, paralelos a um dos lados da espira e separados pela distância b. O conteúdo é indutância mútua, que satisfaz
M = PhiI,
onde Phi é o fluxo do campo magnético do fio através da área da espira quando o fio carrega corrente I.

Passo 2

Escolhemos coordenadas cartesianas de modo que o fio coincida com o eixo y, a corrente I siga o sentido +hat y e a espira esteja no plano xy, cobrindo b<= x<= b+a e 0<= y<= a. O vetor área da espira é d A = hat k,dx,dy.

Passo 3

O módulo do campo magnético de um fio infinito a uma distância x é
B(x)=mu0,I2pi,x
Pela regra da mão direita, em x>0 esse campo aponta na direção -hat k, logo o componente normal é
Bn(x)=-mu0,I2pi,x

Passo 4

Escrevemos o fluxo através da espira como
Phi=integral duplaespira Bcdot d A =integraly=0^a!integralx=b^b+aBn(x),dx,dy =-mu0I2piintegral0^a!integralb^b+a1x,dx,dy

Passo 5

Calculando a integral em x e depois em y obtemos
Phi =-mu0I2piintegral0^al[ln(b+a)-ln(b)r],dy =-mu0I,a2pil[ln(b+a)-ln(b)r]

Passo 6

Da definição M=Phi/I e tomando o módulo (o sinal depende da orientação das correntes), chegamos a
M=mu0,a2piln!l(b+abr)

Resposta

M = mu0,a2piln!l(b+abr)

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