CALCULE A INEGRAL DO CAMPO VETORIAL
\vec{F}=z \vec{i}+x \vec{j}+y \vec{k}
AO LONGO DA HÉLICE COM EQUASÃO:
\vec{r}(t)=(\cos t) \vec{i}+(\operatorname{sen} t) \vec{j}+z \vec{k}, 0 \leq t \leq 2 \pi

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C}\vec F\cdot d\vec r
onde o campo vetorial é
\vec F(x,y,z)=z\,\vec i + x\,\vec j + y\,\vec k
e a curva C é a hélice dada por
\vec r(t)=(\cos t)\,\vec i+(\sin t)\,\vec j+t\,\vec k, \quad 0\le t\le2\pi.
O conteúdo usado será a definição de integral de linha de um campo vetorial, isto é
\int_{C}\vec F\cdot d\vec r =\int_{a}^{b}\vec F\bigl(\vec r(t)\bigr)\cdot\vec r\,'(t)\,dt.

Passo 2

Primeiro, substituímos \vec r(t) em \vec F. Como \vec r(t)=(\cos t,\sin t,t), temos
\vec F\bigl(\vec r(t)\bigr) =\bigl(z,x,y\bigr)\big|_{(\cos t,\sin t,t)} =(t,\cos t,\sin t).

Passo 3

Agora calculamos a derivada \vec r\,'(t). Como
\vec r(t)=(\cos t,\sin t,t),
vem
\vec r\,'(t)=(-\sin t,\cos t,1).

Passo 4

O produto escalar fica
\vec F(\vec r(t))\cdot\vec r\,'(t) =(t,\cos t,\sin t)\cdot(-\sin t,\cos t,1) =-t\sin t+\cos^2 t+\sin t.
Assim
\int_{C}\vec F\cdot d\vec r =\int_{0}^{2\pi}\bigl(-t\sin t+\cos^2 t+\sin t\bigr)\,dt.

Passo 5

Vamos separar em três integrais:
  1. \displaystyle\int_{0}^{2\pi}-t\sin t\,dt.
    Por partes, u=-t, dv=\sin t\,dt
\int -t\sin t\,dt =t\cos t-\sin t \Big|_{0}^{2\pi} =2\pi\cdot1-0 =2\pi.
  1. \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\cos^2 t\,dt =\int_{0}^{2\pi}\frac{1+\cos(2t)}{2}\,dt =\bigl[\tfrac t2+\tfrac{\sin(2t)}{4}\bigr]_{0}^{2\pi} =\pi. 3. \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\sin t\,dt =[-\cos t]_{0}^{2\pi} =-\cos(2\pi)+\cos0 =0.

Passo 6

Somando os resultados:
2\pi + \pi + 0 = 3\pi.

Resposta

A integral de linha vale 3\pi.

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