Calcule a integral do campo vetorial
\vec{F}=2 \vec{i}+x \vec{j}+4 \vec{k}
aw longo da hélice com equağö:
\vec{r}(t)=(\cos t) \vec{i}+(\operatorname{sen} t) \vec{j}+2 \vec{k}, \quad 0 \leq t \leq 2 \pi

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha do campo vetorial
\vec{F}(x,y,z) = 2\,\vec{i} + x\,\vec{j} + 4\,\vec{k}
ao longo da curva helicoidal dada por
\vec{r}(t) = (\cos t)\,\vec{i} + (\operatorname{sen} t)\,\vec{j} + 2\,\vec{k},\quad 0 \le t \le 2\pi.
O conteúdo é integração de campo vetorial sobre curva orientada, e vamos precisar parametrizar a curva, calcular \mathrm{d}\vec{r} e fazer \displaystyle \int \vec{F}\bigl(\vec{r}(t)\bigr)\cdot \mathrm{d}\vec{r}.

Passo 2

Parametrizamos a curva por \vec{r}(t). Calculamos o vetor tangente
\mathrm{d}\vec{r} = \vec{r}'(t)\,\mathrm{d}t \quad\text{com}\quad \vec{r}'(t) = \bigl(-\operatorname{sen} t,\;\cos t,\;0\bigr).

Passo 3

Substituímos na integral
\int_{C}\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r} = \int_{0}^{2\pi} \vec{F}\bigl(\vec{r}(t)\bigr)\cdot \vec{r}'(t)\,\mathrm{d}t.
Temos
\vec{F}\bigl(\vec{r}(t)\bigr) = \bigl(2,\;x,\;4\bigr)\Big|_{x=\cos t} = \bigl(2,\;\cos t,\;4\bigr),
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\vec{F}\bigl(\vec{r}(t)\bigr)\cdot \vec{r}'(t) = (2,\cos t,4)\cdot(-\operatorname{sen} t,\cos t,0) = -2\operatorname{sen} t + \cos^2 t.

Passo 4

A integral torna-se
\int_{0}^{2\pi}\bigl(-2\operatorname{sen} t + \cos^2 t\bigr)\,\mathrm{d}t = \int_{0}^{2\pi}(-2\operatorname{sen} t)\,\mathrm{d}t + \int_{0}^{2\pi}\cos^2 t\,\mathrm{d}t.

Passo 5

Calculamos separadamente:
\int_{0}^{2\pi}(-2\operatorname{sen} t)\,\mathrm{d}t = 2\cos t\Big|_{0}^{2\pi} = 2\bigl(\cos(2\pi)-\cos0\bigr) = 0,
e usando que a média de \cos^2 t é 1/2 num período:
\int_{0}^{2\pi}\cos^2 t\,\mathrm{d}t = \pi.
Somando, o valor da integral é \pi.

Resposta

\pi

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