(3,0) Encontre a derivada das funções abaixo.
h(x)=(11-\Omega) \operatorname{tg}(x) \operatorname{sec} (x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
h(x) = (11 - \Omega)\,\tan(x)\,\operatorname{sec}(x).
O conteúdo necessário é o uso da regra do produto e as derivadas conhecidas de \tan(x) e de \operatorname{sec}(x), que são:
\frac{d}{dx}\bigl[\tan(x)\bigr] = \operatorname{sec}^2(x), \quad \frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{sec}(x)\bigr] = \operatorname{sec}(x)\tan(x).

Passo 2

Reconhecemos que 11-\Omega é uma constante. Seja
k = 11 - \Omega
e defina
f(x) = \tan(x)\,\operatorname{sec}(x).
Assim
h(x) = k\,f(x),
e pela regra da constante multiplicativa
h'(x) = k\,f'(x).

Passo 3

Vamos calcular f'(x) usando a regra do produto em f(x)=\tan(x)\,\operatorname{sec}(x):
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl[\tan(x)\bigr]\operatorname{sec}(x) + \tan(x)\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{sec}(x)\bigr].
Substituindo as derivadas conhecidas:
f'(x) = \operatorname{sec}^2(x)\,\operatorname{sec}(x) + \tan(x)\bigl[\operatorname{sec}(x)\tan(x)\bigr] = \operatorname{sec}^3(x) + \operatorname{sec}(x)\,\tan^2(x).

Passo 4

Agora aplicamos o resultado em h'(x)=k\,f'(x):
h'(x) = (11 - \Omega)\bigl[\operatorname{sec}^3(x) + \operatorname{sec}(x)\tan^2(x)\bigr].
Podemos ainda fatorar \operatorname{sec}(x):
h'(x) = (11 - \Omega)\,\operatorname{sec}(x)\bigl[\operatorname{sec}^2(x) + \tan^2(x)\bigr].

Passo 5

Para simplificar, use a identidade \operatorname{sec}^2(x)=1+\tan^2(x), de modo que
\operatorname{sec}^2(x)+\tan^2(x) = (1+\tan^2(x)) + \tan^2(x) = 1 + 2\tan^2(x).
Logo uma forma alternativa é
h'(x) = (11 - \Omega)\,\operatorname{sec}(x)\bigl[1 + 2\tan^2(x)\bigr].

Resposta

h'(x) = (11 - \Omega)\,\bigl[\operatorname{sec}^3(x) + \operatorname{sec}(x)\tan^2(x)\bigr].

Exercícios relacionados