Calcule a inegral definida
integral1 / 6^1 / 3(e^1 / x-4x^2) d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral definida
integral1/6^1/3e^1/x-4x^2,dx
Esse é um problema de mudança de variável (substituição simples), onde vemos que a derivada de 1/x envolve 1/x^2.

Passo 2

Vamos usar a substituição
t = 1x
Daí
dt = -1x^2,dx Longrightarrow 1x^2,dx = -dt
Isso converte a parte x^-2,dx da integral num diferencial simples.

Passo 3

Reescrevendo a integral em função de t:
integral1/6^1/3e^1/x-4x^2,dx = integralx=1/6^x=1/3(e^t - 4)l(1x^2dxr) = -integralt=6^t=3(e^t - 4),dt
Note que quando x=1/6, t=6, e quando x=1/3, t=3.

Passo 4

Podemos inverter os limites de integração para ficar mais confortável:
-integral6^3(e^t - 4),dt = integral3^6(e^t - 4),dt
Agora integramos termo a termo: a integral de e^t é e^t e a de -4 é -4t).

Passo 5

Calculando o valor numérico da integral definida:
integral3^6(e^t - 4),dt = l[e^t - 4tr]3^6 = l(e^6 - 4cdot6r) - l(e^3 - 4cdot3r) = e^6 - 24 - e^3 + 12 = e^6 - e^3 - 12

Resposta

e^6 - e^3 - 12

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