Calcule a integral integral sen^5 theta cdot cos ^3 theta d theta.

Passo 1

A gente quer calcular a integral de sen⁵θ·cos³θ. O conteúdo aqui é integral de funções trigonométricas com potências, e vamos precisar usar uma identidade trigonométrica (para cos²θ) e uma substituição (u = senθ) para simplificar.

Passo 2

Observando que cos³θ = cos²θ·cosθ e que precisamos de um cosθ para a substituição, reescrevemos o integrando como:
sen^5θ·cos^3θ = sen^5θ·(cos^2θ)·cosθ

Passo 3

Agora usamos a identidade cos²θ = 1 - sen²θ para eliminar o cos²θ:
sen^5θ·(1 - sen^2θ)·cosθ = (sen^5θ - sen^7θ)·cosθ

Passo 4

Fazendo a substituição u = senθ, então du = cosθ·dθ. A integral fica
∫(sen^5θ - sen^7θ)·cosθ dθ = ∫(u^5 - u^7) du

Passo 5

Integramos o polinômio em u:
∫(u^5 - u^7) du = u^66 - u^88 + C
Voltando a variável θ, temos u = senθ.

Resposta

sin^6θ6 - sin^8θ8 + C

Exercícios relacionados