Calcule a integral integral 2 x^3+8 x(x^2+2)^2 d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral2x^3+8x(x^2+2)^2,dx. O conteúdo principal é integração por substituição, e vamos precisar reconhecer que a derivada de x^2+2 aparece no numerador.

Passo 2

Observamos que 2x^3+8x=2x(x^2+4), então o integrando fica dfrac2x(x^2+4)(x^2+2)^2,dx. Isso sugere usar u=x^2+2.

Passo 3

Definindo u=x^2+2, temos du=2x,dx. Assim, 2x,dx=du e o integrando vira
integralx^2+4u^2,du

Passo 4

Como x^2=u-2, temos x^2+4=(u-2)+4=u+2. A integral passa a ser
integralu+2u^2,du=integrall(1u+2u^-2r),du

Passo 5

Agora integramos termo a termo:
integral1u,du=ln|u|, integral2u^-2,du=-2u^-1

Passo 6

Somando, obtemos ln|u|-2u^-1+C.
Voltando a x, substituímos u=x^2+2 para chegar à resposta final.

Resposta

lnl(x^2+2r)-2x^2+2+C

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