Calcule, por inspeção, as seguintes integrais. Explique seu raciocínio.
integral duplaD(3 x y^3-y) d A, em que D é a região entre y=|x| e y=-|x|,-1 <= x <= 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaD(3xy^3 - y),dA, onde D é dado por -1 <= x <= 1 e -|x| <= y <= |x|. O conteúdo é integral dupla e vamos usar simetria em y para simplificar.

Passo 2

Para cada x fixo, note que as funções y^3 e y são ímpares em y, e o intervalo de integração em y é simétrico (de -|x| a |x|). Logo,
  • integral-lvert xrvert^lvert xrvert3x,y^3,dy = 3xcdot0 = 0
  • integral-lvert xrvert^lvert xrvert(-y),dy = 0

Passo 3

Assim, a integral interna em y é zero para todo x, e ao integrar em x de -1 a 1 o resultado continua zero.

Resposta

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