Seja f a função definida por
f(x)=ccc 8 xx-1, & se & x <=-1 2 x^2+2 x+4, & se & -11
Calcule (se existir) a derivada de f em cada um dos seguintes pontos: x=-2, x=-1, x=0, x=1 e x=2.

Passo 1

O enunciado define uma função por partes e pede para calcular a derivada em pontos internos e também verificar a diferenciabilidade nos pontos de quebra (x=-1 e x=1). Vamos usar as regras de derivação (quociente, polinômio) e ainda conferir derivadas laterais e continuidade nos extremos de intervalo.

Passo 2

Para x≤−1 temos f(x)= 8xx-1. Aplicando a regra do quociente obtemos
f'(x)=8,(x-1)-8xcdot1(x-1)^2=-8(x-1)^2 Em particular, em x=−2:
f'(-2)=-8(-2-1)^2=-89

Passo 3

No intervalo −1<x≤1 vale f(x)= 2x^2+2x+4. Derivando polinômio, f’(x)= 4x+2. Logo em x=0:
f'(0)=4cdot0+2=2

Passo 4

Para x>1 temos f(x)= x^2+x-2x^3-x^2+3x-3. Note que
x^2+x-2=(x+2)(x-1),
x^3-x^2+3x-3=(x-1)(x^2+3),
então para x≠1
f(x)=x+2x^2+3
Derivando,
f'(x)=(x^2+3)cdot1-(x+2)cdot2x(x^2+3)^2=-x^2-4x+3(x^2+3)^2
Em x=2 isso dá
f'(2)=-4-8+3(4+3)^2=-949

Passo 5

No ponto x=−1, como f está definida pela primeira regra à esquerda e pela segunda à direita, calculamos as derivadas laterais. Da esquerda f’_L(−1)= -8/(−1-1)^2=−2. Da direita f’_R(−1)=4(−1)+2=−2. Como coincidem e f é contínua em x=−1, f é diferenciável aí e f’(−1)=−2.

Passo 6

Em x=1 ocorre quebra: da esquerda f(1)=2·1^2+2·1+4=8, mas o limite pela direita é (1+2)/(1^2+3)=3/4. Como f não é contínua em x=1, não existe derivada em x=1.

Resposta

f’(-2) = -8/9, f’(-1) = -2, f’(0) = 2, f’(1) não existe, f’(2) = -9/49

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