Calcule (se existir) a derivada de f em cada um dos seguintes pontos: x=-2, x=-1, x=0, x=1 e x=2.
Passo 1
O enunciado define uma função por partes e pede para calcular a derivada em pontos internos e também verificar a diferenciabilidade nos pontos de quebra (x=-1 e x=1). Vamos usar as regras de derivação (quociente, polinômio) e ainda conferir derivadas laterais e continuidade nos extremos de intervalo.
Passo 2
Para x≤−1 temos f(x)=8xx-1. Aplicando a regra do quociente obtemos
f'(x)=8,(x-1)-8xcdot1(x-1)^2=-8(x-1)^2 Em particular, em x=−2:
f'(-2)=-8(-2-1)^2=-89
Passo 3
No intervalo −1<x≤1 vale f(x)=2x^2+2x+4. Derivando polinômio, f’(x)=4x+2. Logo em x=0:
No ponto x=−1, como f está definida pela primeira regra à esquerda e pela segunda à direita, calculamos as derivadas laterais. Da esquerda f’_L(−1)=-8/(−1-1)^2=−2. Da direita f’_R(−1)=4(−1)+2=−2. Como coincidem e f é contínua em x=−1, f é diferenciável aí e f’(−1)=−2.
Passo 6
Em x=1 ocorre quebra: da esquerda f(1)=2·1^2+2·1+4=8, mas o limite pela direita é (1+2)/(1^2+3)=3/4. Como f não é contínua em x=1, não existe derivada em x=1.