A. Nos exercícios a seguir calcule a integral dupla
para as funções
e região
dadas:
;
é o retângulo definido por
e
Passo 1
Vamos resolver a integral dupla
onde
sobre a região
que é um retângulo definido por
e
. Para isso, vamos utilizar o conceito de integrais duplas em cálculo integral, que nos permite calcular o volume sob a superfície
sobre a região
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. A região
é um retângulo com
variando de 1 a 2 e
variando de 0 a 1. Isso significa que a integral dupla pode ser escrita como uma integral iterada, onde integraremos primeiro em relação a
e depois em relação a
:
Passo 3
Vamos resolver a integral interna, que é a integral de
em relação a
, mantendo
constante:
Integrando termo a termo:
A integral de
em relação a
é
, e a integral de
em relação a
é
. Avaliando de 0 a 1:
Passo 4
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Vamos integrar termo a termo:
A integral de
em relação a
é
, e a integral de
em relação a
é
. Avaliando de 1 a 2:
Resposta
O valor da integral dupla é
.