A. Nos exercícios a seguir calcule a integral dupla integralegral dupla f(x, y) d A para as funções f(x, y) e região R dadas:
f(x, y)=y+2 x; R é o retângulo definido por 1 <= x <= 2 e 0 <= y <= 1

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla integral dupla f(x, y) , dA onde f(x, y) = y + 2x sobre a região R que é um retângulo definido por 1 <= x <= 2 e 0 <= y <= 1. Para isso, vamos utilizar o conceito de integrais duplas em cálculo integral, que nos permite calcular o volume sob a superfície f(x, y) sobre a região R.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. A região R é um retângulo com x variando de 1 a 2 e y variando de 0 a 1. Isso significa que a integral dupla pode ser escrita como uma integral iterada, onde integraremos primeiro em relação a y e depois em relação a x:
integral duplaR (y + 2x) , dA = integralx=1^2 integraly=0^1 (y + 2x) , dy , dx

Passo 3

Vamos resolver a integral interna, que é a integral de y + 2x em relação a y, mantendo x constante:
integral0^1 (y + 2x) , dy
Integrando termo a termo:
integral0^1 y , dy + integral0^1 2x , dy
A integral de y em relação a y é 12y^2, e a integral de 2x em relação a y é 2x y. Avaliando de 0 a 1:
[ 12y^2 ]0^1 + [ 2x y ]0^1 = 12(1)^2 - 12(0)^2 + 2x(1) - 2x(0) = 12 + 2x

Passo 4

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral1^2 ( 12 + 2x ) , dx
Vamos integrar termo a termo:
integral1^2 12 , dx + integral1^2 2x , dx
A integral de 12 em relação a x é 12x, e a integral de 2x em relação a x é x^2. Avaliando de 1 a 2:
[ 12x ]1^2 + [ x^2 ]1^2 = 12(2) - 12(1) + (2)^2 - (1)^2 = 1 - 0.5 + 4 - 1 = 3.5

Resposta

O valor da integral dupla é 3.5.

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