Calcule
\int_{0}^{27} \sqrt[3]{x} d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral definida \displaystyle \int_{0}^{27}\sqrt[3]{x}\,dx.
O conteúdo é integração de funções potenciais e vamos usar a regra de potência para integrais.

Passo 2

Reescrevemos o radicando como potência:
\sqrt[3]{x} = x^{1/3}.

Passo 3

A regra de potência para integrais afirma que, para n \neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.

Passo 4

Aplicando com n = \tfrac{1}{3}, obtemos a primitiva
F(x) = \frac{x^{1/3 + 1}}{\tfrac{1}{3} + 1} = \frac{x^{4/3}}{4/3} = \frac{3}{4}\,x^{4/3}.

Passo 5

Agora avaliamos entre 0 e 27:
F(27) - F(0) = \frac{3}{4}\,(27)^{4/3} - 0.
Como 27^{1/3} = 3, segue que 27^{4/3} = 3^4 = 81. Logo,
\int_{0}^{27} x^{1/3}\,dx = \frac{3}{4}\cdot 81 = \frac{243}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{243}{4}

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