1 (3 pontos) Considere a integral:
I=\int_{0}^{1} e^{-x^{2}} d x
a) Estime I pela regra de Simpson usando h=0.25 (arredondando a 6 casas decimais).
b) Estime I por Quadratura Gaussiana com 2 pontos (arredondando a 6 casas decimais).
c) Sabendo que o valor exato de I (usando 6 casa decimais) é 0,746824 , compare as estimativas obtidas em a) e b).

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral
I = \int_{0}^{1} e^{-x^{2}} \,dx
usando duas técnicas:
  1. Regra de Simpson com h=0{,}25.
  2. Quadratura Gaussiana de 2 pontos no intervalo [0,1].
    Depois, vamos comparar essas aproximações com o valor “exato” I=0{,}746824 (seis casas decimais).

Passo 2

Aplicando a regra de Simpson em 4 subintervalos de largura h=0{,}25:
Os nós são
x_0=0,\;x_1=0{,}25,\;x_2=0{,}5,\;x_3=0{,}75,\;x_4=1
e
f(x) = e^{-x^2}.
Calculamos
\begin{aligned} f_0 &= f(0)=1,\\\ f_1 &= f(0{,}25)=e^{-0{,}25^2}=e^{-0{,}0625}\approx0{,}939413,\\\ f_2 &= f(0{,}5)=e^{-0{,}5^2}=e^{-0{,}25}\approx0{,}778801,\\\ f_3 &= f(0{,}75)=e^{-0{,}75^2}=e^{-0{,}5625}\approx0{,}569783,\\\ f_4 &= f(1)=e^{-1}\approx0{,}367879. \end{aligned}
A soma ponderada da regra de Simpson é
S = \frac{h}{3}\Bigl(f_0 +4f_1 +2f_2 +4f_3 +f_4\Bigr) = \frac{0{,}25}{3}\bigl(1+4\cdot0{,}939413+2\cdot0{,}778801+4\cdot0{,}569783+0{,}367879\bigr).
Isso dá
S \approx 0{,}746855
(arredondado a seis casas decimais).

Passo 3

Para a quadratura Gaussiana de 2 pontos em [0,1], fazemos a mudança
x = \frac{1+u}{2},\quad u\in[-1,1],\quad dx = \frac{du}{2}.
Os nós em u são \pm\frac{1}{\sqrt{3}}, que viram em x:
x_{1,2} = \frac{1\pm\frac{1}{\sqrt{3}}}{2} \approx 0{,}211325,\;0{,}788675.
As funções valem
f(x_1)\approx e^{-0{,}211325^2}\approx0{,}956261,\quad f(x_2)\approx e^{-0{,}788675^2}\approx0{,}537680.
Como os pesos padrão são 1 em [-1,1], a fórmula em [0,1] fica
G = \frac{1}{2}\bigl(f(x_1)+f(x_2)\bigr) \approx \frac{1}{2}(0{,}956261+0{,}537680) =0{,}746971.

Passo 4

Comparando com I_{\rm exato}=0{,}746824:
– Simpson: 0{,}746855, erro \approx\!3{,}1\times10^{-5}.
– Gauss (2 ptos): 0{,}746971, erro \approx\!1{,}5\times10^{-4}.
Portanto, com esses parâmetros, a regra de Simpson ficou ligeiramente mais precisa.

Resposta

(a) I_{\rm Simpson}\approx0{,}746855.
(b) I_{\rm Gauss}\approx0{,}746971.
(c) A aproximação de Simpson tem erro \approx3{,}1\times10^{-5}, menor que o erro da quadratura Gaussiana ( \approx1{,}5\times10^{-4}), logo Simpson foi mais preciso aqui.

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