1 (3 pontos) Considere a integral:
a) Estime
pela regra de Simpson usando
(arredondando a 6 casas decimais).
b) Estime
por Quadratura Gaussiana com 2 pontos (arredondando a 6 casas decimais).
c) Sabendo que o valor exato de
(usando 6 casa decimais) é 0,746824 , compare as estimativas obtidas em a) e b).
b) Estime
c) Sabendo que o valor exato de
Passo 1
O enunciado pede para aproximar a integral
usando duas técnicas:
- Regra de Simpson com
. - Quadratura Gaussiana de 2 pontos no intervalo
.
Depois, vamos comparar essas aproximações com o valor “exato”(seis casas decimais).
Passo 2
Aplicando a regra de Simpson em 4 subintervalos de largura
:
Os nós são
Os nós são
e
Calculamos
A soma ponderada da regra de Simpson é
Isso dá
(arredondado a seis casas decimais).
Passo 3
Para a quadratura Gaussiana de 2 pontos em
, fazemos a mudança
Os nós em
são
, que viram em
:
As funções valem
Como os pesos padrão são
em
, a fórmula em
fica
Passo 4
Comparando com
:
– Simpson: , erro
.
– Gauss (2 ptos): , erro
.
Portanto, com esses parâmetros, a regra de Simpson ficou ligeiramente mais precisa.
– Simpson:
– Gauss (2 ptos):
Portanto, com esses parâmetros, a regra de Simpson ficou ligeiramente mais precisa.
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) A aproximação de Simpson tem erro , menor que o erro da quadratura Gaussiana (
), logo Simpson foi mais preciso aqui.
(b)
(c) A aproximação de Simpson tem erro