Calcule:
onde
é o retângulo de vértices
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha sobre a curva fechada
do campo cujo diferencial é
Dados fornecidos relevantes:
- A curva
é o retângulo com vértices . Logo o domínio interior é o retângulo
- O integrando diferencial pode ser visto como
com
- O que se pede é o valor da integral de linha fechada
Passo 2
Escolha do método e justificativa (explicando a ideia):
- Quando temos uma integral de linha sobre uma curva fechada no plano de uma expressão
, uma ferramenta natural é o Teorema de Green. Ele troca a integral de linha por uma integral dupla sobre a região interior, o que frequentemente simplifica muito o cálculo. - Enunciado não exige outro método, então vamos usar Green. Vou primeiro escrever a forma do teorema e explicar cada termo: se
é uma curva simples, fechada e orientada positivamente (contorno no sentido anti-horário) que limita uma região , e têm derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de , então
- Aqui
é a área elementar . A ideia é calcular e e integrar a diferença sobre o retângulo . - Observação breve sobre aparente problema de domínio: as expressões originais usam
e que, isoladamente, podem parecer problemáticas em partes do retângulo. No entanto, as derivadas parciais que aparecem em Green serão
e , e estas são funções contínuas em todo o retângulo . Por isso iremos aplicar Green sem complicações técnicas (a ideia prática é que a diferença das derivadas é bem definida e contínua em ).
Passo 3
Calcular as derivadas parciais necessárias:
- Calculo de
. Como , derivando em relação a tratamos como constante:
Expliquei: a derivada de
em relação a
é
(pois não depende de
) e a de
é
.
- Calculo de
. Como , a parte não depende de , então
Expliquei: a derivada de
em relação a
é
; a outra parcela é constante em
.
Passo 4
Escrever o integrando da integral dupla segundo Green:
Portanto, pela fórmula de Green,
Aqui
é o retângulo
. Vamos calcular essa integral dupla por integração iterada (primeiro em
, depois em
).
Passo 5
Calcular a integral interna (em
):
Montamos a integral iterada:
Montamos a integral iterada:
Agora integramos em
:
- Integral de
em é . - Integral de
em é .
Portanto,
Passo 6
Calcular a integral externa (em
) e concluir:
Agora substituímos o resultado interno na integral em :
Agora substituímos o resultado interno na integral em
Logo a integral de linha pedida vale
.