Calcule:
\int_{\alpha}\left[\left(y^{2}+\sqrt{4-x^{2}}\right) d x+(\ln y-4 x) d y\right]onde \alpha é o retângulo de vértices (1,0),(3,0),(3,2) e (1,2).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha sobre a curva fechada \alpha do campo cujo diferencial é
\left(y^{2}+\sqrt{4-x^{2}}\right) d x+(\ln y-4 x) d y.
Dados fornecidos relevantes:
  • A curva \alpha é o retângulo com vértices (1,0), (3,0), (3,2), (1,2). Logo o domínio interior é o retângulo
R=\{(x,y)\mid 1\le x\le 3,\;0\le y\le 2\}.
  • O integrando diferencial pode ser visto como P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy com
P(x,y)=y^{2}+\sqrt{4-x^{2}},\qquad Q(x,y)=\ln y-4x.
  • O que se pede é o valor da integral de linha fechada
\oint_{\alpha} P\,dx+Q\,dy.

Passo 2

Escolha do método e justificativa (explicando a ideia):
  • Quando temos uma integral de linha sobre uma curva fechada no plano de uma expressão P\,dx+Q\,dy, uma ferramenta natural é o Teorema de Green. Ele troca a integral de linha por uma integral dupla sobre a região interior, o que frequentemente simplifica muito o cálculo.
  • Enunciado não exige outro método, então vamos usar Green. Vou primeiro escrever a forma do teorema e explicar cada termo: se \alpha é uma curva simples, fechada e orientada positivamente (contorno no sentido anti-horário) que limita uma região R, e P,Q têm derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de R, então
\oint_{\alpha} P\,dx+Q\,dy=\iint_{R}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA.
  • Aqui dA é a área elementar dx\,dy. A ideia é calcular \frac{\partial Q}{\partial x} e \frac{\partial P}{\partial y} e integrar a diferença sobre o retângulo R.
  • Observação breve sobre aparente problema de domínio: as expressões originais usam \sqrt{4-x^{2}} e \ln y que, isoladamente, podem parecer problemáticas em partes do retângulo. No entanto, as derivadas parciais que aparecem em Green serão
    \frac{\partial Q}{\partial x} e \frac{\partial P}{\partial y}, e estas são funções contínuas em todo o retângulo R. Por isso iremos aplicar Green sem complicações técnicas (a ideia prática é que a diferença das derivadas é bem definida e contínua em R).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais necessárias:
  • Calculo de \frac{\partial Q}{\partial x}. Como Q(x,y)=\ln y-4x, derivando em relação a x tratamos y como constante:
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(\ln y-4x)=-4.
Expliquei: a derivada de \ln y em relação a x é 0 (pois não depende de x) e a de -4x é -4.
  • Calculo de \frac{\partial P}{\partial y}. Como P(x,y)=y^{2}+\sqrt{4-x^{2}}, a parte \sqrt{4-x^{2}} não depende de y, então
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(y^{2}+\sqrt{4-x^{2}})=2y.
Expliquei: a derivada de y^{2} em relação a y é 2y; a outra parcela é constante em y.

Passo 4

Escrever o integrando da integral dupla segundo Green:
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=-4-2y.
Portanto, pela fórmula de Green,
\oint_{\alpha} P\,dx+Q\,dy=\iint_{R}(-4-2y)\,dA.
Aqui R é o retângulo 1\le x\le 3,\;0\le y\le 2. Vamos calcular essa integral dupla por integração iterada (primeiro em y, depois em x).

Passo 5

Calcular a integral interna (em y):
Montamos a integral iterada:
\iint_{R}(-4-2y)\,dA=\int_{x=1}^{3}\left(\int_{y=0}^{2}(-4-2y)\,dy\right)dx.
Agora integramos em y:
  • Integral de -4 em y é -4y.
  • Integral de -2y em y é -y^{2}.
    Portanto,
\int_{y=0}^{2}(-4-2y)\,dy=\big[-4y-y^{2}\big]_{0}^{2}=(-4\cdot 2 - 2^{2})-0=(-8-4)=-12.

Passo 6

Calcular a integral externa (em x) e concluir:
Agora substituímos o resultado interno na integral em x:
\int_{x=1}^{3}(-12)\,dx=-12\big[x\big]_{1}^{3}=-12(3-1)=-12\cdot 2=-24.
Logo a integral de linha pedida vale -24.

Resposta

-24

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