Considere a seguinte EDO LINEAR DE COEFICIENTES VARIÁVEIS da forma:
6 x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+10 x \frac{d y}{d x}-32 y=0,
que possui uma solução da forma: y_{1}=-5 x^{2}.
A partir dessas informações, responda as seguintes questões:
Questão 3) Encontre a solução do PVI formado por essa EDO e pelas condições iniciais dadas pelos pontos
(x=1, y=-3) ;\left(x=1, y^{\prime}=0\right). Apresente, apenas, os valores numéricos de k_{1} e k_{2}.
Escreva sua solução aqui: k_{1}= k_{2}=

Passo 1

O enunciado fornece a EDO
6 x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+10 x \frac{d y}{d x}-32 y=0,
e informa que uma solução conhecida é y_{1}=-5 x^{2}. O problema pede achar a solução do PVI com as condições iniciais
(x=1,\; y=-3)\quad\text{e}\quad\left(x=1,\; y'=0\right),
e, no final, apresentar apenas os valores numéricos de k_{1} e k_{2} que aparecem na solução geral
y = k_{1} y_{1} + k_{2} y_{2}.
Lista de informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes variáveis está dada acima.
  • Uma solução conhecida é y_{1}=-5 x^{2}.
  • As condições iniciais são y(1)=-3 e y'(1)=0.
    A resolução começa agora.

Passo 2

Colocamos a EDO na forma padrão y''+P(x)y'+Q(x)y=0. Dividindo por 6x^{2} (assumindo x\neq0):
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + \frac{10x}{6x^{2}}\frac{dy}{dx} - \frac{32}{6x^{2}} y = 0.
Simplificando os coeficientes obtemos
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + \frac{5}{3x}\frac{dy}{dx} - \frac{16}{3x^{2}}y = 0.
Portanto
P(x)=\frac{5}{3x},\qquad Q(x)=-\frac{16}{3x^{2}}.

Passo 3

Escolhemos o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução linearmente independente y_{2}, porque já temos uma solução conhecida y_{1}. A fórmula prática (para uma EDO linear homogênea de segunda ordem) é
y_{2}=y_{1}\int \frac{e^{-\int P(x)\,dx}}{y_{1}^{2}}\,dx,
onde P(x) é o coeficiente de y' na forma padrão. Vou usar essa fórmula e explicar cada termo quando aplicado.

Passo 4

Calculamos \int P(x)\,dx. Como P(x)=\dfrac{5}{3x},
\int P(x)\,dx = \int \frac{5}{3x}\,dx = \frac{5}{3}\ln|x|.
Então
e^{-\int P(x)\,dx} = e^{-\frac{5}{3}\ln|x|} = |x|^{-5/3}.
Como trabalhamos em torno de x=1>0, podemos tirar as barras: e^{-\int P(x)\,dx}=x^{-5/3}.

Passo 5

Agora montamos o integrando \dfrac{e^{-\int P}}{y_{1}^{2}}. Temos y_{1}=-5x^{2} então
y_{1}^{2}=25x^{4}.
Assim
\frac{e^{-\int P}}{y_{1}^{2}} = \frac{x^{-5/3}}{25x^{4}} = \frac{1}{25}x^{-5/3-4} = \frac{1}{25}x^{-17/3}.
Integramos:
\int \frac{1}{25}x^{-17/3}\,dx = \frac{1}{25}\cdot\frac{x^{-17/3+1}}{-17/3+1} = \frac{1}{25}\cdot\frac{x^{-14/3}}{-14/3}.
Calculando o denominador -14/3 e simplificando:
\int \frac{1}{25}x^{-17/3}\,dx = \frac{1}{25}\cdot\left(-\frac{3}{14}\right)x^{-14/3} = -\frac{3}{350}x^{-14/3}.

Passo 6

Aplicando a fórmula y_{2}=y_{1}\cdot integral, obtemos (podemos ignorar uma constante multiplicativa não nula porque apenas gera a mesma solução por escala)
y_{2} = (-5x^{2})\left(-\frac{3}{350}x^{-14/3}\right) = \frac{15}{350}x^{2-14/3}.
Simplificando a constante e o expoente:
\frac{15}{350}=\frac{3}{70},\qquad 2-\frac{14}{3}=\frac{6-14}{3}=-\frac{8}{3}.
Portanto uma escolha conveniente para a segunda solução é
y_{2}=\frac{3}{70}x^{-8/3}.

Passo 7

A solução geral da EDO é combinação linear das duas soluções independentes:
y(x)=k_{1}y_{1}(x)+k_{2}y_{2}(x)=k_{1}(-5x^{2}) + k_{2}\left(\frac{3}{70}x^{-8/3}\right).

Passo 8

Precisamos aplicar as condições iniciais em x=1. Para isso calculamos y'(x). Diferenciando termo a termo:
\frac{d}{dx}\big(-5k_{1}x^{2}\big) = -10k_{1}x,
\frac{d}{dx}\left(k_{2}\frac{3}{70}x^{-8/3}\right) = k_{2}\frac{3}{70}\cdot\left(-\frac{8}{3}\right)x^{-11/3}.
Simplificando o coeficiente do segundo termo:
\frac{3}{70}\cdot\left(-\frac{8}{3}\right) = -\frac{8}{70} = -\frac{4}{35}.
Logo
y'(x) = -10k_{1}x - \frac{4}{35}k_{2}x^{-11/3}.

Passo 9

Agora aplicamos as condições iniciais em x=1.
Para y(1)=-3:
-5k_{1} + \frac{3}{70}k_{2} = -3.
Para y'(1)=0:
-10k_{1} - \frac{4}{35}k_{2} = 0.
Temos, portanto, o sistema linear
\begin{cases} -5k_{1} + \dfrac{3}{70}k_{2} = -3,\\[6pt] -10k_{1} - \dfrac{4}{35}k_{2} = 0. \end{cases}]

Passo 10

Resolvemos o sistema. Primeiro eliminamos denominadores multiplicando as equações:
Multiplicando a primeira por 70:
-350k_{1} + 3k_{2} = -210.
Multiplicando a segunda por 35:
-350k_{1} - 4k_{2} = 0.
Subtraindo a segunda da primeira (para eliminar k_{1}):
( -350k_{1} + 3k_{2} ) - ( -350k_{1} - 4k_{2} ) = -210 - 0,
o que dá
7k_{2} = -210 \quad\Rightarrow\quad k_{2} = -30.
Substituindo k_{2}=-30 em -350k_{1}-4k_{2}=0:
-350k_{1} -4(-30)=0 \quad\Rightarrow\quad -350k_{1}+120=0,
-350k_{1} = -120 \quad\Rightarrow\quad k_{1} = \frac{120}{350} = \frac{12}{35}.
Encontramos os valores
k_{1}=\frac{12}{35},\qquad k_{2}=-30.

Resposta

k_{1}=\dfrac{12}{35}
k_{2}=-30

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