Considere a seguinte EDO LINEAR DE COEFICIENTES VARIÁVEIS da forma:
6 x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+10 x \frac{d y}{d x}-32 y=0,
que possui uma solução da forma: y_{1}=-5 x^{2}.
A partir dessas informações, responda as seguintes questões:
Questão 3) Encontre a solução do PVI formado por essa EDO e pelas condições iniciais dadas pelos pontos (x=1, y=-3) ;\left(x=1, y^{\prime}=0\right). Apresente, apenas, os valores numéricos de k_{1} e k_{2}.
Escreva sua solução aqui: k_{1}= □ k_{2}= □
Passo 1
O enunciado fornece a EDO
6 x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+10 x \frac{d y}{d x}-32 y=0,
e informa que uma solução conhecida é y_{1}=-5 x^{2}. O problema pede achar a solução do PVI com as condições iniciais
Escolhemos o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução linearmente independente y_{2}, porque já temos uma solução conhecida y_{1}. A fórmula prática (para uma EDO linear homogênea de segunda ordem) é
Aplicando a fórmula y_{2}=y_{1}\cdot integral, obtemos (podemos ignorar uma constante multiplicativa não nula porque apenas gera a mesma solução por escala)