Seja f uma função analítica em \mathbb{C}, tal que:
|f(z)| \leq\left|e^{z}\right| \text { para todo } z \in \mathbb{C}
Mostre que existe a \in \mathbb{C}, tal que f(z)=a \cdot e^{z} para todo z \in \mathbb{C}. (2 pts)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede exatamente isto. Informações: f é uma função analítica em \mathbb{C} (ou seja, holomorfa em todo o plano) e satisfaz
|f(z)| \leq \left|e^{z}\right| \quad\text{para todo } z\in\mathbb{C}.
Pergunta: provar que existe a\in\mathbb{C} tal que
f(z)=a\cdot e^{z}\quad\text{para todo } z\in\mathbb{C}.
Passo 2
Observe que a função exponencial \,e^{z}\, nunca é zero em \mathbb{C} (isto é, \,e^{z}\neq 0 para todo z). Portanto posso definir a função
g(z):=\frac{f(z)}{e^{z}}=f(z)\,e^{-z}\,,
sem perigo de divisão por zero. Vou mostrar que g é inteira (analítica em todo o plano). Explicando devagar: f é analítica por hipótese e z\mapsto e^{-z} é analítica (produto de funções analíticas é analítico), então o produto g(z)=f(z)e^{-z} é analítico em todo \mathbb{C}. Conclusão: g é uma função inteira.
Passo 3
Agora uso a desigualdade dada para mostrar que g é limitada (bounded). Para qualquer z\in\mathbb{C} temos
Portanto g é limitada por 1 em todo o plano: |g(z)|\leq 1 para todo z.
Passo 4
Aplico agora o Teorema de Liouville, que afirma: toda função inteira e limitada é constante. Vou dar uma prova curta e direta (útil para prova na hora da prova). Seja g inteira e limitada por M (aqui M=1). Pela fórmula integral de Cauchy para a derivada, para qualquer w\in\mathbb{C} e qualquer raio R>0,
Como isso vale para todo R>0, posso fazer R\to\infty e obter g'(w)=0. Como w era arbitrário, g'\equiv 0 em \mathbb{C}, logo g é constante. (Isto é o conteúdo prático de Liouville.)
Passo 5
Da etapa anterior concluímos que existe um a\in\mathbb{C} tal que g(z)=a para todo z. Voltando à definição de g,
\frac{f(z)}{e^{z}}=a\quad\text{para todo }z,
ou seja
f(z)=a\cdot e^{z}\quad\text{para todo }z\in\mathbb{C}.
Uma observação prática: esse a é precisamente a=g(0)=f(0), já que e^{0}=1.