Verifique que a expressão dada, é uma diferencial exata em qualquer região
em que
;
Passo 1
O enunciado pede para verificar que a expressão
é uma diferencial exata em qualquer região
em que
.
Informações dadas:
- A 1-forma sobre o plano exceto a origem é
acima. - A região
é qualquer subconjunto de que não contém o ponto . - Objetivo: mostrar que existe uma função
(primitiva) definida em tal que .
Passo 2
Defino os coeficientes da 1-forma como funções usuais:
Lembrete prático (o que significa “diferencial exata”): a 1-forma
é exata se existir
com
Um teste rápido (necessário): verificar se as derivadas parciais mistas coincidem:
Se conseguirmos construir explicitamente
, isso prova a exatidão.
Passo 3
Calculo as derivadas parciais mistas passo a passo usando a regra do quociente (se
, então
).
Calcular
:
Derivando em
:
Calcular
:
Derivando em
:
Conclusão deste passo:
. Assim a 1-forma é fechada fora da origem.
Passo 4
Agora vou construir explicitamente uma função potencial
. Integro
em
(tratando
como constante):
Faço a substituição
, então
, logo
Voltando às variáveis originais:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
.
Passo 5
Determino
a partir da condição
. Calculo
:
Mas sabemos que deve coincidir com
. Portanto
Logo
é constante:
. Assim uma primitiva é
Observação sobre domínio: para
tem-se
, então
é bem definida e suave. Portanto
está bem definida e diferenciável em qualquer região
que não contenha a origem, o que mostra que
é exata em qualquer tal
.
Resposta
Sim. Uma primitiva é
, logo a forma é exata em qualquer
com
.